【算法】拓扑排序

article/2025/10/1 7:55:56

今天学习拓扑排序。如果一个有向图的任意顶点都无法通过一些有向边回到自身，那么称这个有向图为有向无环图（Directed Acyclic Graph，DAG）。拓扑排序就是将有向无环图的所有顶点排序，使得图中任意两个点 u、v，只要存在边 u → v，那么拓扑排序中 u 一定在 v 前面。例如，高等数学、线性代数都可以直接开始学习，复变函数要学习完前两门课才能学习，所以，拓扑排序可以是：高等数学→线性代数→复变函数，或者线性代数→高等数学→复变函数。下面讲解具体算法的思路。

1.拓扑排序算法

基本思想如下：

定义一个队列 q，把所有入度为 0 的节点入队；
取队首节点，输出。删除它的出边，令出边到达的顶点入度减 1，如果该顶点入度变成 0，则将其加入队列；
反复进行第 2 步，直到队空。如果所有点都被访问，则 G 是有向无环图，否则有环。

代码如下：

List<List<Integer>> edges = new ArrayList<>();      // 邻接表
int[] inDegree = new int[n];      // 记录每个点的入度public int[] topologicSort(int n, List<List<Integer>> edges, int[] inDegree) {int[] ret = new int[n];int num = 0;    // 记录加入拓扑排序的定点数Queue<Integer> q = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {       // 入度为0的节点入队if (inDegree[i] == 0) q.offer(i);}while (!q.isEmpty()) {int u = q.poll();ret[num] = u;for (int v : edges.get(u)) {    // 取出后继节点inDegree[v]--;if (inDegree[v] == 0) {q.offer(v);}}edges.get(u).clear();   // 删除顶点u的所有出边num++;      // 加入拓扑排序的定点数加1}if (num != n) return new int[0];	// 排序失败else return ret;	// 排序成功
}

2.练习：力扣207. 课程表^[1]

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则必须先学习课程 bi 。

例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。
请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：true
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出：false
解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

该题只需判断能否完成拓扑排序，即有没有环，解法如下：

class Solution {private List<List<Integer>> edges;private int[] inDegree;public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {edges = new ArrayList<>();          // 邻接表for (int i = 0; i < numCourses; i++) {edges.add(new ArrayList<>());}inDegree = new int[numCourses];     // 记录入度// 建图for (int[] prerequisite : prerequisites) {inDegree[prerequisite[0]]++;edges.get(prerequisite[1]).add(prerequisite[0]);}return topologicSort(numCourses);}private boolean topologicSort(int n) {int cnt = 0;    // 记录参加过拓扑排序的节点数量Queue<Integer> q = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {if (inDegree[i] == 0) {q.offer(i);}}while (!q.isEmpty()) {int cur = q.poll();cnt++;for (int next : edges.get(cur)) {inDegree[next]--;if (inDegree[next] == 0) {q.offer(next);}}}return cnt == n;}
}

3.练习：210. 课程表 II^[2]

现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示在选修课程 ai 前必须先选修 bi 。

例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示：[0,1] 。

返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：[0,1]
解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。

示例 2：

输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出：[0,2,1,3]
解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。

示例 3：

输入：numCourses = 1, prerequisites = []
输出：[0]

典型的拓扑排序题，在上一题基础上记录排序的结果即可：

class Solution {public int[] findOrder(int numsCourses, int[][] prerequisites) {List<List<Integer>> edges = new ArrayList<>();      // 邻接表for (int i = 0; i < numsCourses; i++) {edges.add(new ArrayList<>());}int[] inDegree = new int[numsCourses];      // 记录每个点的入度for (int[] prerequisite : prerequisites) {edges.get(prerequisite[1]).add(prerequisite[0]);inDegree[prerequisite[0]]++;        // 注意是入度}return topologicSort(numsCourses, edges, inDegree);}public int[] topologicSort(int n, List<List<Integer>> edges, int[] inDegree) {int[] ret = new int[n];int num = 0;    // 记录加入拓扑排序的定点数Queue<Integer> q = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {       // 入度为0的节点入队if (inDegree[i] == 0) q.offer(i);}while (!q.isEmpty()) {int u = q.poll();ret[num] = u;for (int v : edges.get(u)) {    // 取出后继节点inDegree[v]--;if (inDegree[v] == 0) {q.offer(v);}}edges.get(u).clear();   // 删除顶点u的所有出边num++;      // 加入拓扑排序的定点数加1}if (num != n) return new int[0];else return ret;}
}