利用正交变换判断二次曲面类型

• 正交变换是欧式空间保持向量内积不变的线性变换。不仅保持向量的长度不变，而且还保持向量
  的夹角不变。二维或三维空间中的旋转变换、关于某一条直线或平面的对称变换都是正交变换．投影变换、平移变换不是正交变换．

• 正交变它从实内积空间 $V$ 映射到 $V$自 身，保持变换前后内积不变．它应用在几何学上就是保持变换前后图形的不变性，这是正交变换的优势，从而达到了判断二次曲面类型、辨明二次曲面形状的目的．

任意一个实二次型

$$f\left(x_1,x_2,\cdots x_n\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=X^{T}AX,\left(a_{ij}=a_{ji}\right)$$

都可以经过正交的线性替换变成平方和 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$ ，其中 ${\lambda }_i(i=1，2，\dots ，n)$ 就是矩阵$A$的特征多项式全部的根．(高代第八，九章)

前置结论：

• Q1. 方程

  $$x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+8x_2{x}_3=1$$

  表示何种二次曲面?

解: 首先利用正交的线性替换将实二次型

$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+8x_2{x}_3$$

化为标准形

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ -2& -2& 4\\ 2& 4& -2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$

$A$ 的特征多项式为

$$f(\lambda )=|\lambda I-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 2& -2\\ 2& \lambda +2& -4\\ -2& -4& \lambda +2\end{array}\right|=(\lambda +7)(\lambda -2{)}^2,$$

$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2,{\lambda }_3=-7.$
可求得对应的 ${\lambda }_1={\lambda }_2=2$ 特征向量分别为 $p_1=(-2,1,0{)}^T,p_2=(2,0,1{)}^T$, 将其正交化

$${\alpha }_1=p_1=(-2,1,0{)}^T,{\alpha }_2=p_2-\frac{\left(p_1,{\alpha }_1\right)}{\left({\alpha }_1,{\alpha }_1\right)}{\alpha }_1={\left(\frac{2}{3},\frac{4}{5},1\right)}^T\text{ ， }$$

再单位化得

$$q_1={\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}},0\right)}^T,q_2={\left(\frac{2}{3\sqrt{5}},\frac{4}{3\sqrt{5}},\frac{5}{3\sqrt{5}}\right)}^T,$$

又对应 ${\lambda }_3=-7$ 的特征向量为 $p_3=(-1,-2,2{)}^T$ ， 单位化得 $q_3={\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)}^T$ ， 故正交变换

$$\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{-2}{\sqrt{5}}& \frac{2}{3\sqrt{5}}& -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{4}{3\sqrt{5}}& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{5}{3\sqrt{5}}& \frac{2}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$$

将实二次型 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)$ 化为标准形

$$f=2y_1^2+2y_2^2-7y_3^2,$$

可知方程 $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+8x_2{x}_3=1$ 表示的曲面为单叶双曲面.

• Q2.
  判断二次曲面 $$2x^2+2y^2+3z^2+4xy+2xz+2yz-4z+6y-2z+3=0$$ 的形状.
  分析: 可先通过正交变换再通过平移变换, 将二次曲面方程化成标准形式的方程.

解:

$$A=\left(\begin{array}{lll}2& 2& 1\\ 2& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -2\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$

则二次曲面方程为 $X^{T}AX+B^{T}X+3=0.$
$A$ 的特征值为 $\lambda =2,5,0$, 对应的单位特征向量为
$$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{-2}{\sqrt{6}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\end{array}\right),$$

则经正交变换 $X=CY$ , 即
$$\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-2}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& 0\end{array}\right)Y,$$

二次曲面方程化为

$Y^T(C^{T}AC)Y+BCY+3=0,$

即

$$2x^2+5y^2+\sqrt{6}{x}^{\prime }+5\sqrt{2}{z}^{\prime }+3=0,$$

配方,得
$$2{\left(x^{\prime }+\frac{\sqrt{6}}{4}\right)}^2+5y^2=-5\sqrt{2}\left(z^{\prime }+\frac{9\sqrt{2}}{40}\right),$$

再经平移变换

$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }=x^{\prime }+\frac{\sqrt{6}}{4}\\ y^{\prime \prime }=y^{\prime }\\ z^{\prime \prime }=z^{\prime }+\frac{9\sqrt{2}}{40}\end{array}$$

二次曲面方程化为 $2x^{\prime \prime 2}+5y^{\prime \prime 2}=-5\sqrt{2}{z}^{\prime \prime }$ , 是椭圆抛物面.