一、二次曲线与对偶二次曲线

最近在看基于椭球体的物体SLAM过程中，经常涉及到椭球体的空间几何知识，这里先补充一下一些空间几何相关的基础，参考链接。
椭球体本身属于二次曲面的一种，二次曲面是对空间形状的描述，属于3d的内容，与之对应的2d描述是二次曲线，这里我们先从二次曲线开始，二次曲线简单来说就是高考题倒数第二题的考试内容，包括椭圆、双曲线和抛物线三种，这三种曲线来自于用一个平面切割二次曲面，最多可以得到三种曲线，即三种二次曲线。

对于一条二次曲线，我们可以使用代数形式对其进行描述：

这里的xy本身对应的是一个二次曲线上的坐标(x,y)，当我们把坐标换为齐次坐标时，可以得到齐次坐标下的二次曲线表达式：

将该式子整理为矩阵形式可得：

由于该式子的右侧为0，因此我们可以对式子左右两侧同时除以一个常数，这里我们选择同时除以f，那么二次曲线的参数矩阵Q中的六个未知数就变成了五个，相当于我们不考虑二次曲线的尺度，让自由度减少一个变成了五个，也就是说对于任何一条二次曲线，我们可以用曲线上的五个点来解出矩阵Q，从而表示这个二次曲线。

由于我们对点的坐标使用的是向量的形式，我们也可以将其换为一条线的向量表示，形式上没有发生变化但是几何意义发生了变化。对于任何一条二次曲线，其切线可以表示为：

这里切线可以证明，主要是证明点x同时落在二次曲线和直线上，且直线和二次曲线相交与唯一一点，这里就不展开详细算了。有了切线的表示方式，那么我们可以用切线来表示切点x，将点x带入二次曲线的表达式，就可以得到用切线来表示的二次曲线：


为了式子的简介，这里我们将矩阵C的逆矩阵另作定义：

这时我们就得到了用切线表示的二次曲线，这种用切线表示的方式我们称为对偶二次曲线，也就是说二次曲线和对偶二次曲线本质上都是对二次曲线的形容，只不过表示方式不一样，用点来表示的称为二次曲线，而用切线表示的称为对偶二次曲线，切线会与二次曲线产生交点，两种表示方式正是通过相切来进行的联系。

二、二次曲面与对偶二次曲面

根据前面的推理，我们可以直接将二次曲线扩展到二次曲面上，对于任何一个二次曲面，我们都可以用代数形式对其进行描述，将代数形式中的坐标替换为齐次坐标后整理为矩阵形式，可以得到二次曲面的矩阵Q，两侧同时除以常数消除尺度同时减少一个自由度，对向量进行替换变成切面形式，切面进行整理并带入二次曲面表达式最终得到对偶二次曲面。

三、总结

无论是二次曲线还是二次曲面，带与不带对偶，区别就在于是否使用切线/面来对其进行描述，本质上说的还是同一个东西，在论文中使用的主要是二次曲面中的椭球ellipsoid，使用这一形式进行描述主要是在投影过程中的描述性更好，不会出现空间立方体那样不规则的投影结果，但是缺点在于椭球的自由度有八个，需要至少八个约束才能描述一个椭球，这更需要对空间物体的性质进行更加细致的研究。