一.二次曲面






二.二次曲面的旋转不变量








三.特征方程和特征根
1.特征根(特征值)与主方向(特征方向,特征向量):


2.不同直角坐标系下的主方向:


3.二次曲面的标准形式:

引理1:非零实对称矩阵$D$的特征根全是实数

引理2:非零实对称矩阵$D$的3个特征根至少有1个不为0

引理3:可以选择对应的3个特征根(实根)的主方向,使得它们互相垂直

定理1:经过适当的坐标变换,$\Phi (x,y,z)$总可以化为标准形式${\lambda }_1{x}^{\ast 2}+{\lambda }_2{y}^{\ast 2}+{\lambda }_3{z}^{\ast 2}$,其中实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$是系数矩阵$D$的3个特征根

四.二次曲面方程的化简与二次曲面的分类
1.二次曲面化为标准形式的过程


(1)特征根均不为0:


(2)特征根有且仅有1个为0:



(3)特征根有且仅有2个为0:



2.分类
(1)二次曲面的分类:

定理2:二次曲面化为标准形式,一共有17类

(2)二次曲线的分类:

定理3:平面上二次曲线一共有9类:椭圆,虚椭圆,双曲线,1点,2条相交直线,抛物线,2条平行直线,2条虚平行直线,2条重合直线