奇异值分解的揭秘（一）：矩阵的奇异值分解过程

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作者：Xinyu Chen
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来源：知乎

矩阵的奇异值分解（singular value decomposition，简称SVD）是线性代数中很重要的内容，并且奇异值分解过程也是线性代数中相似对角化分解（也被称为特征值分解，eigenvalue decomposition，简称EVD）的延伸。因此，以下将从线性代数中最基础的矩阵分解开始讲起，引出奇异值分解的定义，并最终给出奇异值分解的低秩逼近问题相关的证明过程。

1 线性代数中的矩阵分解

我们在学习线性代数时，就已经接触了线性代数中的两个重要定理，即对角化定理和相似对角化定理，在这里，我们先简单地回顾一下这两个定理。另外，在接下来的篇幅里，我们所提到的矩阵都是指由实数构成的矩阵，即实矩阵。

给定一个大小为 $m\times m$ 的矩阵 $A$ （是方阵），其对角化分解可以写成

$A=U\Lambda U^{-1}$

其中， $U$ 的每一列都是特征向量， $\Lambda$ 对角线上的元素是从大到小排列的特征值，若将 $U$ 记作 $U=\left( \vec{u}_1,\vec{u}_2,...,\vec{u}_m \right)$ ，则

$AU=A\left(\vec{u}_1,\vec{u}_2,...,\vec{u}_m\right)=\left(\lambda_1 \vec{u}_1,\lambda_2 \vec{u}_2,...,\lambda_m \vec{u}_m\right)$

$=\left(\vec{u}_1,\vec{u}_2,...,\vec{u}_m\right) \left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_m \\ \end{array} \right]$

$\Rightarrow AU=U\Lambda \Rightarrow A=U\Lambda U^{-1}$

更为特殊的是，当矩阵 $A$ 是一个对称矩阵时，则存在一个对称对角化分解，即

$A=Q\Lambda Q^T$

其中， $Q$ 的每一列都是相互正交的特征向量，且是单位向量， $\Lambda$ 对角线上的元素是从大到小排列的特征值。

当然，将矩阵 $Q$ 记作 $Q=\left(\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_m\right)$ ，则矩阵 $A$ 也可以写成如下形式：

$A=\lambda_1 \vec{q}_1\vec{q}_1^T+\lambda_2 \vec{q}_2\vec{q}_2^T+...+\lambda_m \vec{q}_m\vec{q}_m^T$

举一个简单的例子，如给定一个大小为 $2\times 2$ 的矩阵 $A=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ ，根据 $\left|\lambda I-A\right|=\left| \begin{array}{cc} \lambda-2 & -1 \\ -1 & \lambda-2 \\ \end{array} \right|=0$ 求得特征值为 $\lambda_1=3$ ， $\lambda_2=1$ ，相应地， $\vec{q}_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ ，则

$A=\lambda_1 \vec{q}_1\vec{q}_1^T+\lambda_2 \vec{q}_2\vec{q}_2^T =\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ .
这样，我们就很容易地得到了矩阵 $A$ 的对称对角化分解。

2 奇异值分解的定义

在上面，对于对称的方阵而言，我们能够进行对称对角化分解，试想：对称对角化分解与奇异值分解有什么本质关系呢？

当给定一个大小为 $m\times n$ 的矩阵 $A$ ，虽然矩阵 $A$ 不一定是方阵，但大小为 $m\times m$ 的 $AA^T$ 和 $n\times n$ 的 $A^TA$ 却是对称矩阵，若 $AA^T=P\Lambda_1 P^T$ ， $A^TA=Q\Lambda_2Q^T$ ，则矩阵 $A$ 的奇异值分解为

$A=P\Sigma Q^T$

其中，矩阵 $P=\left(\vec{p}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_m\right)$ 的大小为 $m\times m$ ，列向量 $\vec{p}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_m$ 是 $AA^T$ 的特征向量，也被称为矩阵 $A$ 的左奇异向量（left singular vector）；矩阵 $Q=\left(\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_n\right)$ 的大小为 $n\times n$ ，列向量 $\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_n$ 是 $A^TA$ 的特征向量，也被称为矩阵 $A$ 的右奇异向量（right singular vector）；矩阵 $\Lambda_1$ 大小为 $m\times m$ ，矩阵 $\Lambda_2$ 大小为 $n\times n$ ，两个矩阵对角线上的非零元素相同（即矩阵 $AA^T$ 和矩阵 $A^TA$ 的非零特征值相同，推导过程见附录1）；矩阵 $\Sigma$ 的大小为 $m\times n$ ，位于对角线上的元素被称为奇异值（singular value）。

接下来，我们来看看矩阵 $\Sigma$ 与矩阵 $AA^T$ 和矩阵 $A^TA$ 的关系。令常数 $k$ 是矩阵 $A$ 的秩，则 $k\leq \min\left( m,n \right)$ ，当 $m\ne n$ 时，很明显，矩阵 $\Lambda_1$ 和矩阵 $\Lambda_2$ 的大小不同，但矩阵 $\Lambda_1$ 和矩阵 $\Lambda_2$ 对角线上的非零元素却是相同的，若将矩阵 $\Lambda_1$ （或矩阵 $\Lambda_2$ ）对角线上的非零元素分别为 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$ ，其中，这些特征值也都是非负的，再令矩阵 $\Sigma$ 对角线上的非零元素分别为 $\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_k$ ，则

$\sigma_1=\sqrt{\lambda_1},\sigma_2=\sqrt{\lambda_2},...,\sigma_k=\sqrt{\lambda_k}$

即非零奇异值的平方对应着矩阵 $\Lambda_1$ （或矩阵 $\Lambda_2$ ）的非零特征值，到这里，我们就不难看出奇异值分解与对称对角化分解的关系了，即我们可以由对称对角化分解得到我们想要的奇异值分解。

为了便于理解，在这里，给定一个大小为 $2\times 2$ 的矩阵 $A=\left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ -3 & 3 \\ \end{array} \right]$ ，虽然这个矩阵是方阵，但却不是对称矩阵，我们来看看它的奇异值分解是怎样的。

由 $AA^T=\left[ \begin{array}{cc} 32 & 0 \\ 0 & 18 \\ \end{array} \right]$ 进行对称对角化分解，得到特征值为 $\lambda_1=32$ ， $\lambda_2=18$ ，相应地，特征向量为 $\vec{p}_1=\left( 1,0 \right) ^T$ ， $\vec{p}_2=\left(0,1\right)^T$ ；由 $A^TA=\left[ \begin{array}{cc} 25 & 7 \\ 7 & 25 \\ \end{array} \right]$ 进行对称对角化分解，得到特征值为 $\lambda_1=32$ ， $\lambda_2=18$ ，相应地，特征向量为 $\vec{q}_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^T$ 。取 $\Sigma =\left[ \begin{array}{cc} 4\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{2} \\ \end{array} \right]$ ，则矩阵 $A$ 的奇异值分解为

$A=P\Sigma Q^T=\left(\vec{p}_1,\vec{p}_2\right)\Sigma \left(\vec{q}_1,\vec{q}_2\right)^T$

$=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 4\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 3\sqrt{2} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ -3 & 3 \\ \end{array} \right]$ .

若矩阵 $A$ 不再是一个方阵，而是一个大小为 $3\times 2$ 的 $A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ ，由 $AA^T=\left[ \begin{array}{ccc} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ 得到特征值为 $\lambda_1=5$ ， $\lambda_2=\lambda_3=0$ ，特征向量为 $\vec{p}_1=\left(1,0,0\right)^T$ ， $\vec{p}_2=\left(0,1,0\right)^T$ ， $\vec{p}_3=\left(0,0,1\right)^T$ ；由 $A^TA=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right]$ 得到特征值为 $\lambda_1=5$ ， $\lambda_2=0$ ，特征向量为 $\vec{q}_1=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^T$ ，令 $\Sigma=\left[ \begin{array}{cc} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ （注意：矩阵 $\Sigma$ 大小为 $3\times 2$ ），此时，矩阵 $A$ 的奇异值分解为

$A=P\Sigma Q^T=\left(\vec{p}_1,\vec{p}_2\right)\Sigma \left(\vec{q}_1,\vec{q}_2\right)^T$

$=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2\sqrt{5}}{5} \\ -\frac{2\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right]$ .

比较有趣的是，假设给定一个对称矩阵 $A=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ ，它是对称矩阵，则其奇异值分解是怎么样的呢？

分别计算 $AA^T$ 和 $A^TA$ ，我们会发现， $AA^T=A^TA=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right]$ $=\left[ \begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 4 & 5 \\ \end{array} \right]$ ，左奇异向量和右奇异向量构成的矩阵也是相等的，即 $P=Q=\left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right]$ ，更为神奇的是，该矩阵的奇异值分解和对称对角化分解相同，都是 $A=\left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right]$ 。这是由于对于正定对称矩阵而言，奇异值分解和对称对角化分解结果相同。

3 奇异值分解的低秩逼近

在对称对角化分解中，若给定一个大小为 $3\times 3$ 的矩阵 $A=\left[ \begin{array}{ccc} 30 & 0 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right]$ ，很显然，矩阵 $A$ 的秩为 $rank\left(A\right)=3$ ，特征值为 $\lambda_1=30$ ， $\lambda_2=20$ ， $\lambda_3=1$ ，对应的特征向量分别为 $\vec{q}_1=\left(1,0,0\right)^T$ ， $\vec{q}_2=\left(0,1,0\right)^T$ ， $\vec{q}_3=\left(0,0,1\right)^T$ ，考虑任意一个向量 $\vec{v}=\left(2,4,6\right)^T=2\vec{q}_1+4\vec{q}_2+6\vec{q}_3$ ，则

$A\vec{v}=A\left(2\vec{q}_1+4\vec{q}_2+6\vec{q}_3\right)$

$=2\lambda_1\vec{q}_1+4\lambda_2\vec{q}_2+6\lambda_3\vec{q}_3=60\vec{q}_1+80\vec{q}_2+6\vec{q}_3$

在这里，我们会发现，即使 $\vec{v}$ 是一个任意向量，用矩阵 $A$ 去乘以 $\vec{v}$ 的效果取决于 $A$ 较大的特征值及其特征向量，类似地，在奇异值分解中，较大的奇异值会决定原矩阵的“主要特征”，下面我们来看看奇异值分解的低秩逼近（有时也被称为截断奇异值分解）。需要说明的是，接下来的部分是从文献《A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix》整理而来的。

给定一个大小为 $m\times n$ 的矩阵 $A$ ，由于 $A=P\Sigma Q^T$ 可以写成

$A=\sum_{i=1}^{k}{\sigma_i\vec{p}_i\vec{q}_i^T}=\sigma_1\vec{p}_1\vec{q}_1^T+\sigma_2\vec{p}_2\vec{q}_2^T+...+\sigma_k\vec{p}_k\vec{q}_k^T$

其中，向量 $\vec{p}_1,\vec{p}_2,...,\vec{p}_k$ 之间相互正交，向量 $\vec{q}_1,\vec{q}_2,...,\vec{q}_k$ 之间也相互正交，由内积 $\left<\sigma_i\vec{p}_i\vec{q}_i^T,\sigma_j\vec{p}_j\vec{q}_j^T\right>=0,1\leq i\leq k,1\leq j\leq k,i\ne j$ （有兴趣的读者可以自行推算）得到矩阵 $A$ 的F-范数的平方为

$||A||_F^2=||\sigma_1\vec{p}_1\vec{q}_1^T+\sigma_2\vec{p}_2\vec{q}_2^T+...+\sigma_k\vec{p}_k\vec{q}_k^T||_F^2$ $=\sigma_1^2||\vec p_1\vec q_1^T||_F^2+\sigma_2^2||\vec p_2\vec q_2^T||_F^2+...+\sigma_k^2||\vec p_k\vec q_k^T||_F^2$ $=\sigma_1^2+\sigma_2^2+...+\sigma_k^2=\sum_{i=1}^{r}{\sigma_i^2}$

知道了矩阵 $A$ 的F-范数的平方等于其所有奇异值的平方和之后，假设 $A_1=\sigma_1\vec p_1\vec q_1^T$ 是矩阵 $A$ 的一个秩一逼近（rank one approximation），那么，它所带来的误差则是 $\sigma_2^2+\sigma_3^2+...+\sigma_k^2$ （ $k$ 是矩阵 $A$ 的秩），不过如何证明 $A_1=\sigma_1\vec p_1\vec q_1^T$ 是最好的秩一逼近呢？

由于 $||A-A_1||_F^2=||P\Sigma Q^T-A_1||_F^2=||\Sigma-P^TA_1Q||_F^2$ （证明过程见附录2），令 $P^TA_1Q=\alpha \vec x\vec y^T$ ，其中， $\alpha$ 是一个正常数，向量 $\vec x$ 和 $\vec y$ 分别是大小为 $m\times 1$ 和 $n\times 1$ 的单位向量，则

$||\Sigma-P^TA_1Q||_F^2=||\Sigma-\alpha \vec x\vec y^T||_F^2$ $=||\Sigma||_F^2+\alpha^2-2\alpha \left<\Sigma, \vec x\vec y^T\right>$

单独看大小为 $m\times n$ 的矩阵 $\Sigma$ 和 $\vec x\vec y^T$ 的内积 $\left<\Sigma, \vec x\vec y^T\right>$ ，我们会发现，

$\left<\Sigma, \vec x\vec y^T\right>=\sum_{i=1}^{k}{\sigma_i x_i y_i}\leq \sum_{i=1}^{k}{\sigma_i\left| x_i\right|\left| y_i\right|}$

$\leq\sigma_1 \sum_{i=1}^{k}{\left| x_i\right|\left| y_i\right|}=\sigma_1\left<\vec x^*,\vec y^*\right>$ $\leq \sigma_1||\vec x^*||\cdot ||\vec y^*||\leq \sigma_1||\vec x||\cdot ||\vec y||=\sigma_1$

其中，需要注意的是， $x_i,y_i$ 分别是向量 $\vec x$ 和 $\vec y$ 的第 $i$ 个元素；向量 $\vec x^*=\left(\left|x_1\right|,\left|x_2\right|,...,\left|x_k\right|\right)^T$ 的大小为 $k\times 1$ ，向量 $\vec y^*=\left(\left|y_1\right|,\left|y_2\right|,...,\left|y_k\right|\right)^T$ 的大小也为 $k\times 1$ ，另外，以 $\vec x^*$ 为例， $||\vec x^*||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_k^2}$ 是向量的模，则 $||A-A_1||_F^2$ （残差矩阵的平方和）为

$||\Sigma-\alpha \vec x\vec y^T||_F^2\geq ||\Sigma||_F^2+\alpha^2-2\alpha \sigma_1$ $=||\Sigma||_F^2+\left(\alpha-\sigma_1\right)^2-\sigma_1^2$

当且仅当 $\alpha=\sigma_1$ 时， $||A-A_1||_F^2$ 取得最小值 $\sigma_2^2+\sigma_3^2+...+\sigma_k^2$ ，此时，矩阵 $A$ 的秩一逼近恰好是 $A_1=\sigma_1\vec p_1\vec q_1^T$ .

当然，我们也可以证明 $A_2=\sigma_2\vec p_2\vec q_2^T$ 是矩阵 $A-A_1$ 的最佳秩一逼近，以此类推， $A_r=\sigma_r\vec p_r\vec q_r^T,r< k$ 是矩阵 $A-A_1-A_2-...-A_{r-1}$ 的最佳秩一逼近。由于矩阵 $A_1+A_2+...+A_r$ 的秩为 $r$ ，这样，我们可以得到矩阵 $A$ 的最佳秩 $r$ 逼近（rank- $r$ approximation），即

$A\approx A_1+A_2+...+A_r=\sum_{i=1}^{r}{A_i}$ .

这里得到的矩阵 $P_r$ 的大小为 $m\times r$ ，矩阵 $\Sigma_r$ 的大小为 $r\times r$ ，矩阵 $Q_r$ 的大小为 $n\times r$ ，矩阵 $A$ 可以用 $P_r\Sigma_rQ_r^T$ 来做近似。

用低秩逼近去近似矩阵 $A$ 有什么价值呢？给定一个很大的矩阵，大小为 $m\times n$ ，我们需要存储的元素数量是 $mn$ 个，当矩阵 $A$ 的秩 $k$ 远小于 $m$ 和 $n$ ，我们只需要存储 $k(m+n+1)$ 个元素就能得到原矩阵 $A$ ，即 $k$ 个奇异值、 $km$ 个左奇异向量的元素和 $kn$ 个右奇异向量的元素；若采用一个秩 $r$ 矩阵 $A_1+A_2+...+A_r$ 去逼近，我们则只需要存储更少的 $r(m+n+1)$ 个元素。因此，奇异值分解是一种重要的数据压缩方法。