高数中的微分方程

全微分方程（需要积分域与路径无关）

一阶线性常微分方程 y’+p(x)y=q(x)

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：
对于方程：将y’+p(x)y=0中的常数变为函数求解非齐次方程

$$(\int q(x)\ast e^{\int p(x)dx}+c)e^{\int -p(x)dx}$$

全微分方乘与积分因子法

微分方程P（x，y）dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程的重要条件为
$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$
如果存在 φ(x，y)使得
$$\phi Pdx+\phi Q=0$$
为全微分方程,则将φ(x，y)称为方程的积分因子
$$\frac{\partial (\phi \ast P)}{\partial y}=\frac{\phi \partial (\phi \ast Q)}{\partial x}$$

Pdx+Qdy=0 什么情况下存在积分因子，如何确定积分因子？

1.$$\frac{1}{Q}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})=\mu (x)[只与x有关]$$
则方程的积分因子$$\phi =\phi (x)=e^{\int \mu (x)dx}$$
2.$$-\frac{1}{P}(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})=\mu (y)[只与y有关]$$
则方程的积分因子$$\phi =\phi (y)=e^{\int \mu (y)dy}$$

3.若φ(x,y)为
P(x,y)dx + Q(x,y)dy= 0的一个积分因子,并且φP(x, y)dx + φQ(x,y)dy = du(x,y),
则φ(x,y)F(u)也为方程(*)的一一个积分因子，其中F(u)是u的任一连续可微函数.

应用.如果P(x,y)dx + Q(x,y)dy= 0的积分因子不好确定，而其中p=P1+P2, Q=Q1+Q2,则上
式可写成
$$(Prdx+Q1dy)+(P2dx+Qzdy)=0$$
分别求出两组的积分因子,即存在φ1,φ2使得P1P1dx + P1Q1dy = du1,P2P2dx + φzQzdy = du2.

寻找公共的积分因子

$$\phi 1\ast F1(u1)=\phi 2\ast F2(u2)$$

二阶常系数齐次常微分方程

解的形式：$$g(x)e^{f(x)}$$

n阶常系数常微分方程第“0”定律：

$$f(x)为正比例函数$$
注：这个第“0”定律是本文作者命名的

对于二阶常系数齐次常微分方程，有两个线性无关的特解

二阶常系数齐次常微分方程:$$y=e^{rx}$$
当特征方程有
两个不同实根时：
$$两解线性无关$$
两个相同实根时：
$$两解线性相关，设\frac{y2}{y1}=u(x),带入得u^{\prime \prime }=0，则u(x)=kx$$
两个不同复根时：
$$r=\alpha \pm \beta i，两解线性无关解为：e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$$

二阶常系数非齐次常微分方程

1）$$f(x)=P_m(x)\ast e^{\lambda x}$$

解为：$$y=x^k\ast Q_m(x)\ast e^{\lambda x}(k是非齐次项的\lambda 作为特征方程的根的重数(0/1/2))$$

2）$$f(x)=P_l(x)\ast e^{\alpha x}\ast cos(\beta x)+P_n(x)\ast e^{\alpha x}\ast sin(\beta x)$$

解为：$$\begin{gathered} y=x^k\ast e^{ax}\ast (R_{1m}cos(\beta x)+R_{2m}sin(\beta x))(k是\alpha \pm \beta ix作为特征方程的根的重数(0/1))(m=max(l，n)) \\ m取大值 \end{gathered}$$

$$\ast \ast 注意多了一个x^k\ast \ast$$

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有些特殊的变系数线性常微分方程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程

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二阶可降阶微分方程(二阶降到一阶)：将y’用其他变量替换即可降一阶。(要保持只有两个变量，所以只能适用于y’’=f(x,y’)形式或者f(y,y’)形势)

伯努利微分方程

y’+P（x）y=Q(x)y^n的微分方程
其中n≠0并且n≠1，其中P（x），Q（x）为已知函数，因为当n=0，1时该方程是线性微分方程。
令z=y^{1-n}转化为一阶线性常微分方程

欧拉方程

$$x^n\ast y^{(n)}+P_1\ast x^{n-1}\ast y^{(n-1)}+\dots \dots +P_{n-1}\ast x^{n-1}\ast y^{(1)}+P_n\ast x^{n-n}\ast y^{(1)}=f(x)$$
n阶线性变系数非齐次
令$$x=e^t,有x^1\ast y^{(1)}=Dy，记号D表示对t求导的运算$$
$$一般地，有x^k\ast y^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)y$$

把它代入欧拉方程，便得到一个以t为自变量的n阶常系数非齐次线性微分方程。
解法和二阶的方法一样，先求其次通解，再根据右端项求特解。
在求出这个方程的解后，把t换成 lnx ,即得原方程的解。

参考：
https://na.mbd.baidu.com/r/adrv9xXNAI?f=cp&u=f1f63e03e43635b1