个人对于常微分方程之一阶线性非齐次方程的常数变易法的见解

article/2025/10/2 23:00:26

我们都知道，对常微分方程 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 最简单也是最本质的处理方法就是分离变量，使得方程可以变成 $F(y)dy=G(x)dx$ 的形式，两边再进行积分便可以得到方程的解 $y=h(x)$ .在常微分方程（以下简称为方程）中，有两类比较特殊的方程，分别是一阶线性齐次微分方程以及一阶线性非齐次微分方程.这一类线性方程可以统一表示为 $\frac{dy}{dx} +p(x)y=q(x)$ .

这里有个小问题，为什么说是线性方程？我个人是这么理解的把 $\frac{dy}{dx}$ 写成 ${y}'$ ,在整理完系数之后，方程可以表示为 ${y}'+py=q$ ,很明显，从代数学的角度，这就是关于 $y \ and \ {y}'$ 的方程，且两者是线性的，易证：

$Proof:\\ \forall y_{1} , y_{2} \in \mathbb{R}[x], \\ { y_{1}}'+py_{1}=q_{1} \ \ , \ \ { y_{2}}'+py_{2}=q_{2} \ , \ { y_{1}}'+py_{1}+{y_{2}}'+py_{2}=q_{1} +q_{2} \\ \forall k \in \mathbb{R}, { ky_{1}}'+pky_{1}=kq_{1}$

因此这类方程是线性方程.

此外，为什么说这类方程有齐次与非齐次之分呢？很简单，当q=0时， ${y}'+py=q$ 即是 ${y}'+py=0$ ,在代数学中，这类方程就是齐次方程。而当q不为0时，q视为一个非零常数k，则明显的， ${y}'+py=q$ 是一个非齐次方程。本人在两天前请教了一位师兄，他对于齐次和非齐次的判断方法“简单粗暴”但十分有效——关键在于方程能否进行变量分离！

在解方程的时候，我们应该分情况——q是否为零。

Case 1：当q为0时，该方程是一个齐次方程， ${y}'+py=0$ ，即有 ${y}'=\frac{dy}{dx}=-py$ ,对这个式子进行变量分离，可以得到 $\frac{dy}{y}=p(x)dx$ ,两边同时进行积分可以得到 $\ln y=\int p(x)dx$ ,即可以得到方程的一个解为 $y=e^{\int p(x)dx}$ .

Case 2：当q不为0时，方程的形式为 ${y}'+py=q$

对于常微分方程，我们采用的最常规，最原始，最简单的方法，就是进行变量分离，所以可以试着用分离变量对这个方程进行处理： $\frac{dy}{y}=(-p(x)+\frac{q(x)}{y})dx$ ,但这样子，还是没能将x和y完全分离，因此没能够达到分离变量的目的，所以直接分离变量这种思路暂时枪毙掉。

不妨换一种方法：能否构造出一个恰当方程 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=q(x)$ ,其中 $\exists L(x,y),\ s.t. \ L_{x}=M,L_{y}=N$ .为了构造出这样一个恰当方程，我们需要利用一个积分因子 $u(x)$ ,使得 $uy^{'}+puy=qu$ 是一个恰当方程。假设方程左边的 $uy^{'}+puy$ 恰好是某个二元函数的全微分，由数学分析的相关知识可以很快得到，这个所谓的原函数的唯一存在的且为 $uy$ 。因此，对uy求全微分可以得到 $d(uy)=udy+ydu$ ,所以 $puy=yu^{'}$ .

根据以上分析得到的 $puy=yu^{'}$ ，则 $\frac{u^{'}}{u}=p$ ,而这个就是我们熟悉的齐次方程，进行简单的变量分离即可：

$Analysis:\\ \frac{u^{'}(x)dx}{u(x)}=p(x)dx\\ \int \frac{u^{'}(x)dx}{u(x)}=\int p(x)dx\\ \ln(x)=\int p(x)dx\\ u(x)=e^{\int p(x)dx}$

所以这个方程的一个积分因子是 $u(x)=e^{\int p(x)dx}$ ，而这个就是这个非齐次方程的"导出"齐次方程的解。

在得到这个积分因子之后，我们就可以很快对这个方程进行求解：

$solution:\\ y^{'}e^{\int p(x)dx}+pye^{\int p(x)dx}=qe^{\int p(x)dx}\\ (ye^{\int p(x)dx})^{'}=qe^{\int p(x)dx}\\ ye^{\int p(x)dx}=\int qe^{\int p(x)dx}+C\\ y=e^{-\int p(x)dx}(\int qe^{\int p(x)dx}+C)(\forall C \in \mathbb{R})$

这种方式是MIT教授的方法，是本人认为最好理解的推导方法。如果有更好更简便的推导方式，欢迎探讨！

P.S. 在华南师大版本的《应用常微分方程》中，对这种方程的表述是 $\frac{dy}{dx}=p(x)y+q(x)$ ,那么用上述的思路进行推导，得到的结果大同小异，只不过是 $e^{\int p(x)dx}(\int qe^{-\int p(x)dx}+C)(\forall C \in \mathbb{R})$ ，