【概率与统计】泊松分布(1)

article/2025/3/16 14:30:04

1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店,每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?

老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):

均值为:

按道理讲均值是不错的选择(参见如何理解最小二乘法?),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖,40%的时间不够卖:

 你“甜在心馒头店”又不是小米,搞什么饥饿营销啊?老板当然也知道这一点,就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用T来表示:

然后把周一的三个馒头(“甜在心馒头”,有褶子的馒头)按照销售时间放在线段上:

 把T均分为四个时间段:

 此时,在每一个时间段上,要不卖出了(一个)馒头,要不没有卖出:

 在每个时间段,就有点像抛硬币,要不是正面(卖出),要不是反面(没有卖出)。

T内卖出3个馒头的概率,就和抛了4次硬币(4个时间段),其中3次正面(卖出3个)的概率一样了。

这样的概率通过二项分布来计算就是:

但是,如果把周二的七个馒头放在线段上,分成四段就不够了:

从图中看,每个时间段,有卖出3个的,有卖出2个的,有卖出1个的,就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。

解决这个问题也很简单,把T分为20个时间段,那么每个时间段就又变为了抛硬币:

 这样,T内卖出7个馒头的概率就是(相当于抛了20次硬币,出现7次正面):

为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”,干脆把时间切成n份:

越细越好,用极限来表示:

更抽象一点,T时刻内卖出k个馒头的概率为:

3 p的计算

“那么”,老板用笔敲了敲桌子,“只剩下一个问题,概率p怎么求?”

在上面的假设下,问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为:

那么:

4 泊松分布

有了p=\frac{\mu }{n}了之后,就有:

我们来算一下这个极限:

其中:

所以:

上面就是泊松分布的概率密度函数,也就是说,在T时间内卖出k个馒头的概率为:

一般来说,我们会换一个符号,让\mu =\lambda,所以:

这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。

5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉,不知道\mu啊?

没关系,刚才不是计算了样本均值:

可以用它来近似:

于是:

画出概率密度函数的曲线就是:

 可以看到,如果每天准备8个馒头的话,那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来:

这样93%的情况够用,偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗,“那就这么定了!”

6 二项分布与泊松分布

鉴于二项分布与泊松分布的关系,可以很自然的得到一个推论,当二项分布的p很小的时候,两者比较接近:

7 总结 

这个故事告诉我们,要努力学习啊,要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期,我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少,但是因为不确定性原理,我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变?所以可以用泊松分布来计算。

还有比如交通规划等等问题。

参考

如何通俗理解泊松分布?_马同学图解数学的博客-CSDN博客


http://chatgpt.dhexx.cn/article/Vw1iVDmO.shtml

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