概率分布-泊松分布

article/2025/3/16 17:39:28

分布特点



泊松分布的概率函数为:

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
λ 

应用场景


在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均 瞬时速率 λ (或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布 P ( λ )。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。
        !某一服务设施在一定时间内到达的人数
!电话交换机接到的呼叫次数
!汽车站台的侯客人数
!机器出现的故障数
!自然灾害的发生数
!产品的缺陷数
!显微镜下单位面积内细菌的分布数
等等

      应用示例

泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示:

称为泊松分布。例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×10 6 核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式:

p(0)是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此p(1),p(2)..就意味着全部死亡的概率。


泊松分布的现实意义是什么,为什么现实生活多数服从于泊松分布?


      例如说一个医院中,每个病人来看病都是随机并独立的概率,则该医院一天(或者其他特定时间段,一小时,一周等等)接纳的病人总数可以看做是一个服从poisson分布的随机变量。但是为什么可以这样处理呢?

我个人认为最好的解释方法是从poisson的两种不同定义上着手。

Poisson分布的第一个定义是一个随机变量X, 只能取值非负整数(x=0,1,2,...),且相应的概率为e^{-\lambda }\frac{\lambda ^x}{x!}

,则该变量称为服从poisson分布。这个定义就是我们平时考试或者理论工作时用的poisson随机变量的定义。

注意Poisson还有一个知名度比较小的第二个定义,或者说是Poisson Process的定义:假定一个事件在一段时间内随机发生,且符合以下条件:

(1)将该时间段无限分隔成若干个小的时间段,在这个接近于零的小时间段里,该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。

(2)在每一个极小时间段内,该事件发生两次及以上的概率恒等于零。

(3)该事件在不同的小时间段里,发生与否相互独立。则该事件称为poisson process。

这个第二定义就更加利于大家理解了,回到医院的例子之中,如果我们把一天分成24个小时,或者24x60分钟,或者24x3600秒。时间分的越短,这个时间段里来病人的概率就越小(比如说医院在正午12点到正午12点又一毫秒之间来病 人的概率是不是很接近于零?)。 条件一符合。另外如果我们把时间分的很细很细,是不是同时来两个病人(或者两个以上的病人)就是不可能的事件?即使两个病人同时来,也总有一个人先迈步子跨进医院大门吧。条件二也符合。倒是条件三的要求比较苛刻。应用到实际例子中就是说病人们来医院的概率必须是相互独立的,如果不是,则不能看作是poisson分布。





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