一维离散型随机变量
基本概念
随机变量
随机变量就是随机事件的数值体现。
例如投色子记录色子的点数，记录的点数其实就是一个随机变量，他是这个点数出现的数值体现。
注意：
- 随机变量X = X(e) , 是一个单实值函数，每个随机事件的结果只能对应一个随机变量。
- X(e)体现的是对随机事件的描述，本质上也是随机事件。
- X(e)的各个取值都有一定的概率。
- 在进行实验之前知道X(e)可能会有哪些取值，并且每种取值都有可能出现。
离散型随机变量
随机变量分为两种：连续型和离散型，跟函数的连续和间断类似。
- 连续型有无穷多个，不能列举
- 离散型可以一一列举出来，也可以是无限个，但是跟自然数能够一一对应
分布律
随机变量的各个取值对应的概率称为分布律，可以作为计算公式
一般会用一个表格来表示
注意：
- 所有的概率都在0-1之间
- 所有概率的和为1
常见的离散型随机变量分布
0-1分布
实验只有两种结果，取值用0和1表示
分布律为：
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | p | 1-p |
二项分布
对一个只有 A 和 A ˉ A和\bar A A和Aˉ的事件进行n次实验，事件发生的次数服从二项分布
用表示 B ( n , p ) B(n,p) B(n,p)，事件不发生的概率为 1 − B ( n , p ) 1-B(n,p) 1−B(n,p)
分布律： P ( n , p ) = C n k ∗ p k ∗ ( 1 − p ) n − k P(n,p) = C_n^k * p^k * (1-p)^{n-k} P(n,p)=Cnk∗pk∗(1−p)n−k(k为事件发生的次数)
泊松分布
泊松分布用于描述一定事件或者空间中事件发生次数的概率，用 Π ( λ ) Π(\lambda) Π(λ)表示（ λ \lambda λ为该时间或空间内事件发生的平均次数。）
分布律：
P ( X = k ) = λ k e − λ k ! P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} P(X=k)=k!λke−λ
泊松分布例题
泊松定理
当二项分布B(n,p)的n较大，且p较小时，二项分布大致服从泊松分布Π(np)
即 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k = ( n p ) k e − n p k ! P(X=k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k} = \frac{(np)^ke^{-np}}{k!} P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k=k!(np)ke−np
泊松定理例题
离散型随机变量分布函数
注释：
- F(x)是一个不减函数
- P{a < x <= b} = F(b) - F(a)
- 0 <= F(x) <= 1, F(-00) = 0, F(+00) = 0
- F(x) 是右连续的
随机变量函数的例题
一维连续型随机变量
基本概念
概率密度和概率密度函数
对于连续型随机变量，研究单点没有意义，一般都是研究一个区域对应的概率密度，区域与概率密度的对应关系就是概率密度函数。
概率的密度就是曲线对应的面积（定积分）
注意：
- 概率密度 大于等于 0
- 取值范围为 负无穷 到 正无穷
- 整个概率密度为1
分布函数
与离散型随机变量分布函数对应，概念相同
注意连续型随机变量不关注单点问题，只研究某个区域。
例题
常用连续型随机变量分布
均匀分布
U(a,b)
指数分布
e( λ \lambda λ)
事件下一次发生的间隔时间的概率
分布函数
例题
上面的例题说明指数分布具有无记忆性。
正态分布
N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，也叫高斯分布
性质：
- 关于x = μ \mu μ对称。
- 在 x = μ x = \mu x=μ处取得最大值。
- 当 x < μ x < \mu x<μ时单调递增，当 x > μ x > \mu x>μ时单调递减。
- 在 x = μ ± σ x = \mu \pm \sigma x=μ±σ时有拐点
- y = 0 是水平渐近线
标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)
标准正态分布的性质
- 偶函数
- 分布函数 F ( − x ) = 1 − F ( x ) F(-x) = 1 - F(x) F(−x)=1−F(x)
- 若X～ N ( μ , σ ) N(\mu,\sigma) N(μ,σ)，则 Z = X − σ μ Z = \frac{X - \sigma}{\mu} Z=μX−σ ~ N(0,1);
概念不好懂，直接看例题
随机变量函数的分布
例1
回忆：
分布函数的性质
例2
概率密度函数都是分布函数求导得到的。
