概率论与数理统计---随机变量的分布

article/2025/3/16 17:27:15

一维离散型随机变量

基本概念

随机变量

随机变量就是随机事件的数值体现。

例如投色子记录色子的点数,记录的点数其实就是一个随机变量,他是这个点数出现的数值体现。

注意:

  • 随机变量X = X(e) , 是一个单实值函数,每个随机事件的结果只能对应一个随机变量。
  • X(e)体现的是对随机事件的描述,本质上也是随机事件。
  • X(e)的各个取值都有一定的概率。
  • 在进行实验之前知道X(e)可能会有哪些取值,并且每种取值都有可能出现。

离散型随机变量

随机变量分为两种:连续型和离散型,跟函数的连续和间断类似。

  • 连续型有无穷多个,不能列举
  • 离散型可以一一列举出来,也可以是无限个,但是跟自然数能够一一对应

分布律

随机变量的各个取值对应的概率称为分布律,可以作为计算公式
一般会用一个表格来表示
在这里插入图片描述

注意:

  • 所有的概率都在0-1之间
  • 所有概率的和为1

常见的离散型随机变量分布

0-1分布

实验只有两种结果,取值用0和1表示
分布律为:

X01
Pp1-p

二项分布

对一个只有 A 和 A ˉ A和\bar A AAˉ的事件进行n次实验,事件发生的次数服从二项分布
用表示 B ( n , p ) B(n,p) B(n,p),事件不发生的概率为 1 − B ( n , p ) 1-B(n,p) 1B(n,p)
分布律: P ( n , p ) = C n k ∗ p k ∗ ( 1 − p ) n − k P(n,p) = C_n^k * p^k * (1-p)^{n-k} P(n,p)=Cnkpk(1p)nk(k为事件发生的次数)

泊松分布

泊松分布用于描述一定事件或者空间中事件发生次数的概率,用 Π ( λ ) Π(\lambda) Π(λ)表示( λ \lambda λ为该时间或空间内事件发生的平均次数。)
分布律:
P ( X = k ) = λ k e − λ k ! P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} P(X=k)=k!λkeλ

泊松分布例题
在这里插入图片描述

泊松定理

二项分布B(n,p)的n较大,且p较小时,二项分布大致服从泊松分布Π(np)

P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k = ( n p ) k e − n p k ! P(X=k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k} = \frac{(np)^ke^{-np}}{k!} P(X=k)=Cnkpk(1p)nk=k!(np)kenp

泊松定理例题
在这里插入图片描述
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离散型随机变量分布函数

在这里插入图片描述
注释:

  • F(x)是一个不减函数
  • P{a < x <= b} = F(b) - F(a)
  • 0 <= F(x) <= 1, F(-00) = 0, F(+00) = 0
  • F(x) 是右连续的

随机变量函数的例题
在这里插入图片描述
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一维连续型随机变量

基本概念

概率密度和概率密度函数

对于连续型随机变量,研究单点没有意义,一般都是研究一个区域对应的概率密度,区域与概率密度的对应关系就是概率密度函数。

概率的密度就是曲线对应的面积(定积分)
注意:

  • 概率密度 大于等于 0
  • 取值范围为 负无穷 到 正无穷
  • 整个概率密度为1

分布函数

与离散型随机变量分布函数对应,概念相同
在这里插入图片描述
注意连续型随机变量不关注单点问题,只研究某个区域。

例题
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常用连续型随机变量分布

均匀分布

U(a,b)
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指数分布

e( λ \lambda λ)
事件下一次发生的间隔时间的概率
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分布函数
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例题

在这里插入图片描述
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上面的例题说明指数分布具有无记忆性。
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正态分布

N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2),也叫高斯分布
在这里插入图片描述

性质:

  • 关于x = μ \mu μ对称。
  • x = μ x = \mu x=μ处取得最大值。
  • x < μ x < \mu x<μ时单调递增,当 x > μ x > \mu x>μ时单调递减。
  • x = μ ± σ x = \mu \pm \sigma x=μ±σ时有拐点
  • y = 0 是水平渐近线

标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)
在这里插入图片描述

标准正态分布的性质

  • 偶函数
  • 分布函数 F ( − x ) = 1 − F ( x ) F(-x) = 1 - F(x) F(x)=1F(x)
  • 若X~ N ( μ , σ ) N(\mu,\sigma) N(μ,σ),则 Z = X − σ μ Z = \frac{X - \sigma}{\mu} Z=μXσ ~ N(0,1);
  • 分布函数F(x) = $$
  • 在这里插入图片描述

概念不好懂,直接看例题

在这里插入图片描述
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随机变量函数的分布

例1

在这里插入图片描述
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回忆:
分布函数的性质
在这里插入图片描述

例2

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概率密度函数都是分布函数求导得到的。
在这里插入图片描述


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