克鲁斯卡尔算法学习（Java）

学习视频：尚硅谷韩老师java讲解数据结构和算法

一、应用场景-公交站问题

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某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

二、克鲁斯卡尔算法介绍

2.1、以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：

在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
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例如，对于如上图 G4 所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树：

2.2、以上图 G4 为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组 R 保存最小生成树结果)。

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第 1 步：将边<E,F>加入 R 中。边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 2 步：将边<C,D>加入 R 中。上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 3 步：将边<D,E>加入 R 中。上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 4 步：将边<B,F>加入 R 中。上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。
第 5 步：将边<E,G>加入 R 中。上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
第 6 步：将边<A,B>加入 R 中。上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

三、克鲁斯卡尔算法分析和如何判断是否构成回路

3.1、算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 :对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 :将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一处理方式是：采用排序算法进行排序即可。
问题二处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

3.2、如何判断是否构成回路–举例说明

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在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

C的终点是 F。
D的终点是 F。
E的终点是 F。
F的终点是 F。

关于终点的说明：
5. 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
6. 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是 C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将<C,E> 加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

四、克鲁斯卡尔算法–公交站问题代码实现

package com.lxf.kruskal;import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;public class KruskalCase {private int edgeNum;//边的个数private char[] vertexs;//顶点数组private int[][] matrix;//邻接矩阵private int vLen;//顶点个数//使用INF表示两个顶点不能连通private static final int INF=Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs={'A','B','C','D','E','F','G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},/*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},/*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},/*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},/*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},/*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};//创建KruskalCase对象实例KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);//输出构建的邻接矩阵kruskalCase.print();System.out.println("最小生成树="+kruskalCase.kruskal());}/*** 构造器* @param vertexs 顶点数组* @param matrix 邻接矩阵*/public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {//初始化顶点数和边的个数vLen=vertexs.length;//初始化顶点,深拷贝this.vertexs=new char[vLen];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {this.vertexs[i]=vertexs[i];}//初始化边,深拷贝this.matrix=new int[vLen][vLen];//初始化边数edgeNum=0;for (int i = 0; i < vLen; i++) {for (int j = i+1; j < vLen; j++) {this.matrix[i][j]=matrix[i][j];if(matrix[i][j]!=INF&&matrix[i][j]!=0){edgeNum++;}}}}public ArrayList<EData> kruskal(){int[] ends=new int[vLen];//用于保存"已有最小生成树"中的每个顶点在最小生成树的终点//初始化ends数组，让顶点先都指向自己for (int i = 0; i < ends.length; i++) {ends[i]=i;}//创建结果集合，保存最后的最小生成树ArrayList<EData> res = new ArrayList<>();//获取图中的所有边的集合，一共有12条边ArrayList<EData> edges = getEdges();//按照边的权值大小进行排序Collections.sort(edges);System.out.println("图边的集合="+edges);int index=0;//表示最后结果的索引while(res.size()<vLen-1){//当前边EData eData = edges.get(index++);//当前start顶点int start = getEnd(ends, getPosition(eData.start));//当前end顶点int end = getEnd(ends, getPosition(eData.end));if(start!=end){//如果两个顶点的所连结点最终结点，也就是这个当前结点所在树的根节点不相同//则这条边加入结果集，并将start的根节点指向end的根节点res.add(eData);ends[start]=ends[end];}}return res;}/*** 打印邻接矩阵*/public void print(){System.out.println("邻接矩阵为：\n");for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%-10d\t",matrix[i][j]);}System.out.println();}}/**** @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到就返回-1*/private int getPosition(char ch){for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if(vertexs[i]==ch){//找到return i;}}//找不到返回-1return -1;}/*** 功能：获取图中的边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组* 是通过matrix 邻接矩阵来获取* EData[] 样式[['A','B',12],['B','F',7],['','',]]* @return*/private ArrayList<EData> getEdges(){int index=0;ArrayList<EData> eData = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j=i+1;j<vertexs.length;j++){if(matrix[i][j]!=INF){eData.add(new EData(vertexs[i],vertexs[j],matrix[i][j]));}}}return eData;}/*** 功能：获取下标为i的顶点的终点，用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends:数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个，ends数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i：表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是下标为i的顶点对应的终点的下标*/private int getEnd(int[] ends,int i){while (i!=ends[i]) {ends[i]=ends[ends[i]];i=ends[i];}return i;}
}/*** 创建一个类EData,它的对象实例就表示一条边*/
class EData implements Comparable<EData>{char start;//边的一个点char end;//边的另外一个点int weight;//边的权值/*** 构造器* @param start  一个点* @param end  另一个点* @param weight 权值*/public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData{" +"start=" + start +", end=" + end +", weight=" + weight +'}';}@Overridepublic int compareTo(EData o) {return this.weight-o.weight;}
}