树的同构

03-树1 树的同构 (25 分)

给定两棵树T1和T2。如果T1可以通过若干次左右孩子互换就变成T2，则我们称两棵树是“同构”的。例如图1给出的两棵树就是同构的，因为我们把其中一棵树的结点A、B、G的左右孩子互换后，就得到另外一棵树。而图2就不是同构的。

现给定两棵树，请你判断它们是否是同构的。

输入格式:

输入给出2棵二叉树树的信息。对于每棵树，首先在一行中给出一个非负整数N (≤10)，即该树的结点数（此时假设结点从0到N−1编号）；随后N行，第i行对应编号第i个结点，给出该结点中存储的1个英文大写字母、其左孩子结点的编号、右孩子结点的编号。如果孩子结点为空，则在相应位置上给出“-”。给出的数据间用一个空格分隔。注意：题目保证每个结点中存储的字母是不同的。

输出格式:

如果两棵树是同构的，输出“Yes”，否则输出“No”。

输入样例1（对应图1）：

8
A 1 2
B 3 4
C 5 -
D - -
E 6 -
G 7 -
F - -
H - -
8
G - 4
B 7 6
F - -
A 5 1
H - -
C 0 -
D - -
E 2 -

输出样例1:

Yes

输入样例2（对应图2）：

8
B 5 7
F - -
A 0 3
C 6 -
H - -
D - -
G 4 -
E 1 -
8
D 6 -
B 5 -
E - -
H - -
C 0 2
G - 3
F - -
A 1 4

输出样例2:

No

题意理解

• 对于图1，是同构的
• 对于图2：C在图二的左边图形里只有一个儿子G，在图二的右边图形里有两个儿子D、E，所以就不是同构
• 树的同构，顾名思义两个树是否有一样的结构，每一个孩子结点的孩子的数量和值都要相同，但是它所在的位置可以左右交换（不是说两个父亲结点（B、C）的孩子互相交换，而是说父亲结点的下一层孩子的左右可以交换，如D与E可以互换）

输入两棵二叉树的信息，判断是否同构（对应图1）

8
A 1 2
B 3 4
C 5 -
D - -
E 6 -
G 7 -
F - -
H - -
8
G - 4
B 7 6
F - -
A 5 1
H - -
C 0 -
D - -
E 2 -

• 第一个数是个整数，告诉整个二叉树有几个结点，该题有8个
• 每个结点信息有三个数据，第一个代表了这个结点本身的信息，字符来代表每个结点，后面是两个整数，代表当前这个结点的左儿子是谁，右儿子是谁
• 比方说A，左儿子是B，右儿子是C，B的编号是1，C的编号是2
• D左右儿子都没有，就用两个杠来分别说明左右儿子都是空的
• 第二棵树也是一样的道理，这样的输入方法里，不要求根节点作为第一个数据来输入

求解思路

二叉树表示

• 链表：left和right两个指针

• 一般数组（看成完全二叉树，按照完全二叉树的方法来表示）
  

• 结构数组（静态链表）
  

• 物理上存储是数组，把所需要的信息存储在数组里面，但左右儿子用类似链表的方法来表示，有一个数据来指示左儿子在哪，右儿子在哪，思想上是链表
• ABCD表示结点本身的信息，用来标识结点，left和right不是指向左儿子右儿子的指针，而是指向左儿子和右儿子位置的下标，是个整数，数组正常的下标是从0开始的，所以用-1表示他指向的是一个空的结点，C语言中NULL为0，这里重新定义一个Null=-1
• 此时，ABCD的表示不是唯一的，顺序可以变换
  
  判别根节点：四个数据分别在0，1，3，4
  其中，0，3，4在结构数组里的left、right中出现了，则1所对应的结点为根节点

程序框架搭建

通过BuildTree建立两棵二叉树T1和T2，在调用Isomorphic来判别这两棵二叉树是不是同构

建二叉树

• 输入N，N不空的话，执行循环。为了处理方便，三个读进来的时候，都处理成字符的方式读进来，再把left和right由字符转换成整数，最后返回树根
• 把这个结构数组从头到尾扫描一遍，看看有没有哪个结点不存在其他节点指向它，没人指向它，就是根节点了
  
  就是把T[i]这个数组遍历一遍看看有没有谁指向它
  

用一个数组check，它对应的是我们的N个节点，就是结构数组的那N个节点，check的值一开始都等于0，就是每个节点所对应的check一开始都等于0，然后就是在信息读的过程中就Element里的left和right读进来之后，同时对它的left和right进行处理，如果一个结点有一个left指向了某个位置，就把那个位置的check设为1，如果读进来这个right，指向另外一个结点，那么就把right指向那个位置checek设为1，所以在读每行信息的同时，就把对应的，他指向的，那些结点的check都设为1，一开始都是0，如果有人指向它，它就被设为1

所以整个循环过后，没有被设为1，仍为0的结点就是根节点了

同构判别（如何判别二叉树同构）

• 如果两个数都是空的，也就是R1和R2的值都是-1，两个空树是同构的，return 1
• 一个空，一个不空，那就不同构，return 0
• 树根值不一样，一个是A，一个是B，肯定不同构，return 0
• 这两棵树的左子树都是空的，那就看右边同构不同构，递归调用右子树的判别。

• 左边不是同时空的情况
  

• 左边如果同时不空，就看左边的Element是不是一样的，是一样的，就看左边相等不相等，右边相等不相等
• 若Element值是不一样的，调用左和右的判别
• 两棵树，一棵左边空，一棵左边不空，也是左边和右边的判别

树的同构源码

#include<stdio.h>#define MaxTree 10
#define ElementType char
#define Tree int
#define Null -1             //将Null定义为-1而不能是0，因为数组下标为0的地方仍保存有节点   
typedef struct TreeNode TreeNode;
struct TreeNode {ElementType Element;Tree Left;Tree Right;
}T1[MaxTree],T2[MaxTree];Tree BuildTree(TreeNode T[]) {int i, N;int check[MaxTree];   //check数组用于寻找树的根节点int Root;char cl, cr;scanf("%d\n",&N);if (N) {for (i = 0; i < N; i++) check[i] = 0; /*每个节点所对应的check一开始都等于0*/for (i = 0; i < N; i++) {scanf("%c %c %c\n", &T[i].Element, &cl, &cr);if (cl != '-') {T[i].Left = cl - '0'; //字符转化为整数check[T[i].Left] = 1;//检查数组中的相应位置赋为1}else T[i].Left = Null; //不存在就设置为-1/*对cr的对应处理*/if (cr != '-')  //右子树也一样{T[i].Right = cr - '0';check[T[i].Right] = 1;}else T[i].Right = Null;}}else return  Null;/*空树*/for (i = 0; i < N; i++)if (!check[i]) break; /*//如果为0 则退出,此时i为根节点*/Root = i;return Root;
}int Isomorphic(Tree R1, Tree R2) {/*如果两个数都是空的，也就是R1和R2的值都是-1，两个空树是同构的，return 1*/if ((R1 == Null) && (R2 == Null)) return 1;/*一个空，一个不空，那就不同构，return 0*/if (((R1 == Null) && (R2 != Null)) || ((R1 != Null) && (R2 == Null)))return 0;/*树根值不一样，一个是A，一个是B，肯定不同构，return 0*/if (T1[R1].Element != T2[R2].Element) return 0;/*这两棵树的左子树都是空的，那就看右边同构不同构，递归调用右子树的判别。*/if ((T1[R1].Left == Null) && (T2[R2].Left == Null))return Isomorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Right);/* 如果两棵树左儿子都不为空并且数据还是一样的，即左子树的根结点相同 ，则递归调用，左子树与左子树判别，右子树与右子树判别*/if( ((T1[R1].Left!=Null)&&(T2[R2].Left!=Null))&&((T1[T1[R1].Left].Element)== (T2[T2[R2].Left].Element)) )return(Isomorphic(T1[R1].Left, T2[R2].Left) &&Isomorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Right));/* 如果两棵树左儿子（一个空一个不空或者都不空）并且数据不一样，即左子树的根结点不同，那么判断第一棵树的左（右）儿子是否跟第二棵树的右（左）儿子同构，即则左子树与右子树判别，右子树与左子树判别 */elsereturn (Isomorphic(T1[R1].Left, T2[R2].Right) &&Isomorphic(T1[R1].Right, T2[R2].Left));
}int main() {Tree R1, R2; //首先建立两棵树，R1，R2为树的根节点R1 = BuildTree(T1);R2 = BuildTree(T2);if (Isomorphic(R1, R2))  //Isomorphic函数判断是否同构printf("Yes\n");else printf("No\n");return 0;
}

运行截图

8
A 1 2
B 3 4
C 5 -
D - -
E 6 -
G 7 -
F - -
H - -
8
G - 4
B 7 6
F - -
A 5 1
H - -
C 0 -
D - -
E 2 -
^Z
Yes