快速理解红黑树原理

红黑树 简介

红黑树 其实就是一个二叉树。

1.0 常用的二叉树类型

简单说二叉树概念：
二叉树 又称度为至多二的树。

1.1 平衡二叉树

平衡二叉树又称 AVL 树
特点：一个根节点的左右个子树的高度差不超过1

平衡二叉树

非平衡二叉树

高度差已经大于1 了。
平衡树解决的问题就是 能够最大限度的增加访问的每个节点的的平均性
。保证每个节点被访问的次数平衡。

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1.2 完全二叉树

除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

堆排序 结构其实就是一个完全二叉树的结构，倒序和正序就是用的 大根堆 小根堆的原理。

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1.3 满二叉树

每个节点是叶节点或者度为2.

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1.4 查找二叉树

这种树的特点是 每个根节点大于左子树上的任意一个节点，小于等于右子树上的任意一个节点。

举个简单例子：
比如说 我现在要查找 4 这个数字 ，首先 我先比较 根节点就行，如果比根节点小的话，那么肯定在左边的子树列表里面。那么右边的就不用看了。然后依次同理比较。
查找二叉树 能够提高查询速度的效率。

但是还有一种情况 比较特殊：

这样的 比较尴尬了，一边倒的情况它也满足查找二叉树的概念。但是效率就不那么高效了。

在说原理之前说一下
高度与深度区别：

• 深度定义是从上往下的
• 高度定义是从下往上的
• 空数高度0
• 叶子结点高度1

目前很多网上说法不一致 ，大概如上图两种情况 这紫色，橙色代表层数
一般情况 根节点 根节点 是从0 或者 1
。
此时树的深度为 3 高度 为 9–4–2–1 =4
针对一颗树来说

•  根结点0紫色，层数=深度=高度-1根结点1橙色，层数=深度=高度
  

但是针对每一个树上的节点而言

•  相同深度的每个结点，高度不一定相同，因为每个结点下面的叶结点的深度是不一定相同的
  

如图：②④⑤ 他们高度 3 2 1 深度 1 2 2

2.0 红黑树原理

2.1 红黑树结构核心法则

1. 每个节点要么是红色，要么是黑色
2. 根节点【NULL】必须是黑色
3. 节点是红色不能连续（如果节点是红色 ，孩子必须是黑色）
4. 从任意节点出发到其NULL节点 的简单路径上都包含相同数目的黑色节点★★★ （关键）
5. 每个红色节点的两个子节点一定都是黑色（叶子节点包含NULL）

2.2 红黑树的结构

如图

红黑树从根节点到每个叶子节点的路径都包含相同数量的黑色节点，因此从根节点到叶子节点的路径中包含的黑色节点数被称为树的“黑色高度（black-height）

一颗树黑色高度为3得红黑树，从根结点到叶结点的最短路径长度是3(黑-黑-黑)，最长路径为4(黑-红-黑-红-黑)。由于第4条性质，不可能在最长路径中加入更多的黑色结点，因为性质3规定红色结点的子结点必须是黑色的，因此在同一简单路径中不允许有两个连续的红色结点。红黑树中最长路径就是一条红黑交替的路径
对于给定的黑色高度为n的红黑树，从根结点到叶结点的简单路径的最短长度为n-1，最大长度为2(n-1)。所有对树的操作必须保持上面列出的属性。特别要指出的是，插入和删除树的结点的操作必须遵循这些原则。

2.3 红黑树插入流程

2.3.1 核心策略

• 插入节点且将颜色染成红色
• 重新染色 且基于 《红黑树核心法则2.1》 旋转 修复

2.3.1.1 为什么要将节点染成 红色？

插入的节点染成红色 会破坏 2 、3 法则，便于后续修复

2.3.2 插入常见几种情况

1. 红黑树结构不会旋转变化情况：。
   1）当插入的节点为的父亲为黑色节点。【什么都不用做】
   2）被插入的节点是根节点。【直接把此节点涂为黑色】
2. 红黑树结构发生旋转变化情况：
   1） 当前节点的父节点【60】是红色，且当前节点的祖父节点【40】的另一个子节点（叔叔节点）也是红色。
   2）当前插入的父节点是红色，当前叔叔节点的黑色，且当前节点为其父亲节点的左孩子。（进行左旋）
   3）当前插入的父节点是红色，当前叔叔节点的黑色，且当前节点为其父亲节点的右孩子。（进行右旋）

如图 所示
图片后续更新一版【】

红黑树结构发生旋转变化情况已经对应的措施如下

左旋 ： 右边过于臃肿
右旋 ： 左边过于臃肿
相对复杂的红黑树 旋转最大不超过3次
下面展示一个红黑树插入数据过程

树的旋转问题

1.为什么会出现旋转？
对于平衡树来说，当插入或者删除的时候，树的结构会发生破坏因此会导致。因此需要对树进行旋转来保证树的平衡。

先拿 平衡二叉树的 查找二叉树举一个例子：

此时当前二叉树 是新增一个60数字红色。 此时 当前二叉树不平衡了，那么需要进行左旋 需要把当前40 那个节点作为跟节点，然后把30和20 旋转下来。

此时大家发现这样还是会有问题。发现又不满足二叉树了，现在变三叉了，不要急 ，此时再次挑战需要把中间的 33 那个分支砍掉，接在哪边呢？根据查找二叉树的规则，比根节点小的放在左边，比根节点大的放在右边。 33 比40 小 但是 比30 大。如图

红黑树应用

TreeMap 典型红黑树
Android Binder 虚拟内存 Intent IPC 1M 小内存块
TreeMap

左旋代码：

//左旋右侧需要平衡private void rotateLeft(Entry<K,V> p) {if (p != null) {//拿到根节点的右子节点 Entry<K,V> r = p.right;//把根节点的右子节点的左节点，赋值p.right = r.left;if (r.left != null)//将根节点这个值赋值到当前断开的跟节点上r.left.parent = p;//r 将来要成为新的根节点 p.parent 为根 ，使得他为新的跟节点 r.parent = p.parent;if (p.parent == null)root = r;//如果p 为左孩子，让他还是成为左孩子 同理else if (p.parent.left == p)p.parent.left = r;elsep.parent.right = r;//最后 将当前交换的跟换值r.left = p;p.parent = r;}}

右旋代码：

 private void rotateRight(Entry<K,V> p) {if (p != null) {Entry<K,V> l = p.left;p.left = l.right;if (l.right != null) l.right.parent = p;l.parent = p.parent;if (p.parent == null)root = l;else if (p.parent.right == p)p.parent.right = l;else p.parent.left = l;l.right = p;p.parent = l;}}

插入元素：

  public V put(K key, V value) {Entry<K,V> t = root;if (t == null) {compare(key, key); // type (and possibly null) checkroot = new Entry<>(key, value, null);size = 1;modCount++;return null;}int cmp;Entry<K,V> parent;// split comparator and comparable pathsComparator<? super K> cpr = comparator;if (cpr != null) {do {parent = t;cmp = cpr.compare(key, t.key);if (cmp < 0)t = t.left;else if (cmp > 0)t = t.right;elsereturn t.setValue(value);} while (t != null);}else {if (key == null)throw new NullPointerException();@SuppressWarnings("unchecked")Comparable<? super K> k = (Comparable<? super K>) key;do {parent = t;cmp = k.compareTo(t.key);if (cmp < 0)t = t.left;else if (cmp > 0)t = t.right;elsereturn t.setValue(value);} while (t != null);}Entry<K,V> e = new Entry<>(key, value, parent);if (cmp < 0)parent.left = e;elseparent.right = e;fixAfterInsertion(e);size++;modCount++;return null;}

红黑树相关定理

1. 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。

   根据上面的性质5我们知道上图的红黑树每条路径上都是3个黑结点。因此最短路径长度为2(没有红结点的路径)。再根据性质4(两个红结点不能相连)和性质1，2(叶子和根必须是黑结点)。那么我们可以得出：一条具有3个黑结点的路径上最多只能有2个红结点(红黑间隔存在)。也就是说黑深度为2（根结点也是黑色）的红黑树最长路径为4，最短路径为2。从这一点我们可以看出红黑树是 大致平衡的。 (当然比平衡二叉树要差一些，AVL的平衡因子最多为1)

2. 红黑树的树高(h)不大于两倍的红黑树的黑深度(bd)，即h<=2bd

   根据定理1，我们不难说明这一点。bd是红黑树的最短路径长度。而可能的最长路径长度(树高的最大值)就是红黑相间的路径，等于2bd。因此h<=2bd。

3**. 一棵拥有n个内部结点(不包括叶子结点)的红黑树的树高h<=2log(n+1)**

  下面我们首先证明一颗有n个内部结点的红黑树满足n>=2^bd-1。这可以用数学归纳法证明，施归纳于树高h。当h=0时，这相当于是一个叶结点，黑高度bd为0，而内部结点数量n为0，此时0>=2^0-1成立。假设树高h<=t时，n>=2^bd-1成立，我们记一颗树高 为t+1的红黑树的根结点的左子树的内部结点数量为nl，右子树的内部结点数量为nr，记这两颗子树的黑高度为bd'（注意这两颗子树的黑高度必然一 样），显然这两颗子树的树高<=t，于是有nl>=2^bd'-1以及nr>=2^bd'-1，将这两个不等式相加有nl+nr>=2^(bd'+1)-2，将该不等式左右加1，得到n>=2^(bd'+1)-1，很显然bd'+1>=bd，于是前面的不等式可以 变为n>=2^bd-1，这样就证明了一颗有n个内部结点的红黑树满足n>=2^bd-1。在根据定理2，h<=2bd。即n>=2^(h/2)-1，那么h<=2log(n+1)从这里我们能够看出，红黑树的查找长度最多不超过2log(n+1)，因此其查找时间复杂度也是O(log N)级别的。

红黑树的优势

红黑树 优势
红黑树能够以O(log2(N))的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。此外,任何不平衡都会在3次旋转之内解决。这一点是AVL所不具备的

以上是本人学习红黑树的相关体会和心得。
本文章学习相关内容是转载
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如果有兴趣的同学很可以去这个链接继续学习一下。