用Python学《微积分B》（Taylor公式与曲线拟合）

article/2025/9/20 13:39:10

Taylor公式是微分学部分集大成者，可以说，只有理解了Taylor公式，才能真正感受到微分学方法的神奇与强大。本文主要根据扈志明老师的《微积分B》课程的内容，总结我对Taylor公式的理解。此外，也应用Python求解该部分的课后习题。

注：sympy中对高阶无穷小采样的是“Big O notation”（大O标记法）；而扈志明老师的《微积分B》课程采用的是“Little O notation”（小o标记法），两者是有差别的。我一开始没注意到这个差别，后面在用python做题时发现了，但是鉴于公式较多，就不一一修改了，特此声明。关于这两者的区别，请看：

https://stackoverflow.com/questions/1364444/difference-between-big-o-and-little-o-notation

一、Taylor公式的联想

1，Taylor series of degree n about a

$\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(n)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=$

$f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$

这个公式是对f(x)在a处的近似。

2，Taylor's Theorem

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(n)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)$

其中，余项（误差）满足：

$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\; c\; \epsilon\; (a,x)$

严格的证明推导过程可以去看教科书，或者wiki。我在此只是结合微分学部分前面所学的知识，来一步步联想一下Taylor公式。

1）若函数f(x)在x0处连续，则根据连续的定义

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ $\Leftrightarrow \; \lim_{\Delta x\rightarrow 0}f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})$

根据极限的定义，有

$f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})+\alpha (\Delta x)=f(x_{0})+O(1)$

其中， $\alpha (\Delta x)$ 表示同阶无穷小

2）若函数f(x)在x0附近可导（可微分），则根据微分的定义

$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})= f'(x_{0})*\Delta x + O(\Delta x)$

$\Leftrightarrow \; f(x)-f(x_{0})= f'(x_{0})*(x-x_{0}) + O(x-x_{0})$

$\Leftrightarrow \; f(x)=f(x_{0})+ f'(x_{0})*(x-x_{0}) + O(x-x_{0})$

其中， $O(x-x_{0})$ 表示高阶无穷小

3）类似地，若函数f(x)在x0附近n阶可导（可微分），假设可以找到一个关于(x - x0)的n次多项式使得：

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}C_{k}(x-x_{0})^{k}+ O((x-x_{0})^{n})$

下面来求系数：

对上式两边取极限，

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}[\sum_{k=0}^{n}C_{k}(x-x_{0})^{k}+ O((x-x_{0})^{n})]$

可得， $C_{0}=f(x_{0})$

代入原式，移项得

$\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\sum_{k=1}^{n}C_{k}(x-x_{0})^{k-1}+ O((x-x_{0})^{n-})$

然后再两边取极限，应用洛必达法则求出极限，

得到 $C_{1}=f'(x_{0})$

同理，可以求出其余的系数C。

此时，再回过头来看，

$O(1)=O((x-x_{0})^{0}),O(x-x_{0})=O((x-x_{0})^{1})$

完成了形式上的统一。

二、曲线拟合

1，一个例子

下面来看一下使用Taylor公式对曲线 f(x) = sin(x) 在 x = 0 附近的近似

如上图所示，随着阶数的升高，Taylor公式的吻合原曲线的范围越大。

可能又人会问，既然已经知道了原函数表达式，为什么还要这么一个近似？或者说Taylor公式有什么用？

从上面这个例子就能很好的回答这个问题，这个近似的作用是：方便数值计算。具体来说：

虽然已知 f(x) = sin(x)，但要想求f(1)、f(2.3)、f(5.7)，依然很棘手。有了Taylor公式，就可以把这类棘手的问题转变为多项式计算，而且可以根据需要的精度进行相应的近似，是不是很神奇？

Taylor公式提供了这样一种数值计算的方法：从一个特殊点估算它附近的点的值。而且这个“附近”的范围可以不断扩大。

2， Taylor公式的唯一性

当阶数n确定后，Taylor公式是唯一一个能够足够接近原函数（误差为 $O((x-x_{0})^{n})$ ）的n次多项式。可以用“反证法”证明，过程有点复杂，可以自行google。

3，曲线拟合

前面说的是已知原函数，求近似多项式。事实上，根据Taylor公式我们知道：只要原函数有n阶导数，它就可以用Taylor公式来近似。那么，即使我们不知道原函数，而仅仅是知道一些点，我们也可以用n次多项式来近似这些点所代表的函数，这就是“曲线拟合”。这里不是很严格，它需要假设被拟合的函数有n阶导数。

这么说了，曲线拟合就变成了根据已知点求n次多项式的系数的问题啦。当然，已知点的数量不同，能够拟合的多项式的幂级也同。比如，只有两点，则只能拟合成直线；若有三点，可以拟合成抛物线。。。

三、Taylor公式的应用

之所以说“Taylor公式是微分学的集大成者”，是因为它几乎可以做所有微分学的运算，包括：求极限（PK 洛必达法则）、求高阶导数、判断函数的阶（无穷小比较）、近似计算、分析函数的性质、曲线拟合等。简直要通吃一切微分学方法。

1，五个简单函数的Maclaurin公式

当然，要用好Taylor公式，有五个特殊的Taylor公式（Maclaurin公式）需要了解：

$e^{x}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}x^{k}+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}x^{n+1}$

$sin(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\frac{sin[\xi+(n+1)\pi]}{(2n+2)!}x^{2n+2}$

$cos(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}+\frac{sin[\xi+\frac{2n+1}{2}\pi]}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

$(1+x)^{\alpha }=\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdot \cdot \cdot (\alpha-k+1) }{(k)!}x^{k}+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdot \cdot \cdot (\alpha-n)(1+\xi )^{\alpha -n -1}}{(n+1)!}x^{n+1}$