本篇内容为泰勒公式和麦克劳林公式，主要用于近似计算，还是先搞个引入吧。

引子

f(x)在x=x₀的邻域内n+1阶可导（包含x=x₀）。现在用一个n次多项式P_n(x)近似的表示f(x)
P_n(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ
P_n(x)的项数越多次数越高则值越精确，与f(x)越接近，可以理解成P_n(x)每多一项就做一次修正。

那么P_n(x)应该满足什么样的条件呢？
P_n(x₀)=f(x₀) 既然近似，二者在x=x₀这一点的函数值应该相等，不然误差太大了
P_n’(x₀)=f’(x₀)
P_n’’(x₀)=f’’(x₀)
……
P_n⁽ⁿ⁾(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀)
同理，P_n(x)和f(x)在x=x₀处的一阶导数和高阶导数应该相等，表示二者离散的速度非常慢，从图像上看，二者应该几乎重合。

下面开始处理这个多项式
代入x=x₀，P_n(x₀)=a₀=f(0)

• 通过求导确定系数
  
  

所以P_n(x)就应该是这个样子的
处理近似
很明显可以知道P_n(x)和f(x)之间是有误差的对吧,P_n(x)是个多项式，说的在明白一点，就算经过多次修正，用一个不是f(x)的东西去表示f(x)一定会存在误差的。这个误差成为余项,定义为R_n(x)

f(x)可以表示为多项式和余项（误差）之和即f(x)=P_n(x)+R_n(x)
R_n(x)则可以表示为R_n(x)=f(x)-P_n(x)

正文开始 😆

泰勒(Taylor)公式

定理1
若f(x)在x=x₀邻域内n+1阶可导
则f(x)可以表示为f(x)=P_n(x)+R_n(x)，其中P_n(x)表示如下
R_n(x)表示如下

证明
先梳理一下已知条件

上述条件必然是成立的，因为就是用这些限制条件找到的P_n(x)
开始证明（作者写完的时候看着也头皮发麻，没事 慢慢看）

定理2
若f(x)在x=x₀邻域内n阶可导
则f(x)可以表示为f(x)=P_n(x)+R_n(x)，其中P_n(x)表示如下
R_n(x)是(x-x₀)ⁿ的高阶无穷小
证明
还是先梳理已知条件

P_n(x)长成这个鬼样子，一定满足以下条件


根据无穷小的比较层次，R_n(x)是(x-x₀)ⁿ的高阶无穷小，即
Lagrange型余项和Peano型余项
5句话

1. Lagrange型余项是这个样子的
2. Peano型余项是这个样子的
3. Lagrange型余项和Peano型余项都是Taylor公式的余项
4. 邻域内n+1阶可导使用Lagrange型余项；邻域内n阶可导使用Peano型余项
5. emmmm算了就4句吧

麦克劳林(Maclaurin)公式

这一块内容很好理解
啥是Maclaurin公式？
f(x)=P_n(x)+R_n(x)
多次重复，加强记忆
当x₀=0时,Taylor公式就变成Maclaurin公式了，那么Maclaurin公式中的多项式P_n(x)就应该是这个样子的
余项的使用条件还是一样的

常用的麦克劳林公式

例题

例1

例2

例3

例4

好了 本篇内容宣告完结，是不是感觉终于完了？鉴于本篇内容较多，作者在写的时候已经尽量精简了，本篇没有总结部分，如果理解有困难，就多看几遍吧。