BLDC矢量控制坐标变换

本文的目的在于梳理三相电机旋转矢量以及Clarke变换和Park变换的知识并给出推导。

---

---

前言

最近想入手无刷电机的矢量控制，发现资料上比较零散，对一些变换公式说的不够清楚，让人倍感苦恼，为了夯实基础，扫除学习上的拦路虎，这里决心静下心来认真推导坐标变换公式。

---

一、从旋转矢量说起

三个线圈在空间(电角度空间)成120°放置，并且电流的相位也相差120°。
电流产生同相位的磁动势，$ABC$三相的磁动势分别$Fcos(\omega t),Fcos(\omega t-\frac{2\pi }{3}),Fcos(\omega t+\frac{2\pi }{3})$。
为了书写方便，我们令相位$\phi =\omega t$。
三个磁动势为：
$$\{\begin{array}{rl}& F_a=Fcos\phi \\ & F_b=Fcos(\phi -\frac{2\pi }{3})\\ & F_c=Fcos(\phi +\frac{2\pi }{3})\end{array}\dots \dots 1$$

为了表示这三个量的空间关系，也为了方便计算，我们在复平面上处理空间位置关系：
设$\alpha$轴对应复平面的实轴，$\beta$轴对应复平面的虚轴，则这三相磁动势可表示如下：
A相的矢量：$Fcos\phi =\frac{F}{2}(e^{j\phi }+e^{-j\phi })$
B相的矢量：$Fcos(\phi -\frac{2\pi }{3})e^{j\frac{2\pi }{3}}=\frac{F}{2}(e^{j(\phi -\frac{2\pi }{3})}+e^{-j(\phi -\frac{2\pi }{3})})e^{j\frac{2\pi }{3}}$
C相的矢量：$Fcos(\phi +\frac{2\pi }{3})e^{-j\frac{2\pi }{3}}=\frac{F}{2}(e^{j(\phi +\frac{2\pi }{3})}+e^{-j(\phi +\frac{2\pi }{3})})e^{-j\frac{2\pi }{3}}$
三个矢量的总和为：
$\frac{F}{2}[e^{j\phi }+e^{-j\phi }+(e^{j(\phi -\frac{2\pi }{3})}+e^{-j(\phi -\frac{2\pi }{3})})e^{j\frac{2\pi }{3}}+(e^{j(\phi +\frac{2\pi }{3})}+e^{-j(\phi +\frac{2\pi }{3})})e^{-j\frac{2\pi }{3}}]$
$=\frac{F}{2}(e^{j\phi }+e^{-j\phi }+e^{j\phi }+e^{-j(\phi +\frac{2\pi }{3})}+e^{j\phi }+e^{-j(\phi -\frac{2\pi }{3})})$
可以看到偶数项的旋转恰好抵消了，结果为$\frac{3}{2}F{e}^{j\phi }=\frac{3}{2}F{e}^{j\omega t}$，于是我们得到大小为$\frac{3}{2}F$的以角速度$\omega$逆时针旋转的矢量$\frac{3}{2}F{e}^{j\omega t}$。

抛开具体的旋转角速度，只看相位角$\phi$，对于像1式那种(三相幅值有120°相差且空间电角度相差120°的矢量)，他们三个的矢量和就有一个重要的公式：
$$Fcos\phi +Fcos(\phi -\frac{2\pi }{3})e^{j\frac{2\pi }{3}}+Fcos(\phi +\frac{2\pi }{3})e^{-j\frac{2\pi }{3}}=\frac{3}{2}F{e}^{j\phi }\dots \dots 2$$

这里特别提一下，永磁铁转子的磁场分解与合成容易给人造成误解，有人可能会认为“认为永磁体转子的磁场先分解到$ABC$三个空间方向然后再按上述规则合成矢量，合成后应该是一个大小和永磁体转子原来磁场一样的以$\omega$是磁场吧？”，但不幸的是并不是这样的：
假设永磁体转子的磁场强度为${\psi }_f$且它与$A$相的夹角为$\theta$，则穿过$A$相线圈的磁场为${\psi }_{f}cos\theta$，同理通过$B$相线圈的磁场为${\psi }_{f}cos(\theta -\frac{2\pi }{3})$，而通过$C$相线圈的磁场为${\psi }_{f}cos(\theta +\frac{2\pi }{3})$。
因此从变换公式2式可以看出:
${\psi }_{f}cos\theta +{\psi }_{f}cos(\theta -\frac{2\pi }{3})e^{j\frac{2\pi }{3}}+{\psi }_{f}cos(\theta +\frac{2\pi }{3})e^{-j\frac{2\pi }{3}}=\frac{3}{2}{\psi }_f{e}^{j\theta }$

因此需要注意上述矢量合成实际上是一种数学变换，永磁铁转子的磁场变换并不是变换成一个大小为${\psi }_f$的旋转磁场，而是变换成一个大小为$\frac{3}{2}{\psi }_f$的旋转磁场。

二、Clarke变换

我们仍然用下图作说明：

我们把第一节关于旋转矢量的特殊问题，过渡到具有一般价值的3相2相变换上。
先把公式1带入公式2(再次强调三相量一定是形如公式1的量)：
$F_a+F_b{e}^{j\frac{2\pi }{3}}+F_c{e}^{-j\frac{2\pi }{3}}=\frac{3}{2}F{e}^{j\phi }\dots \dots 2$
表达成矩阵形式：
$$\frac{3}{2}F\left[\begin{array}{c}cos\phi \\ sin\phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_a\\ F_b\\ F_c\end{array}\right]$$
我们不具体指定某一具体量，而是从数学上抽象的看待三相矢量$F_a,F_b,F_c$，经过上面的变换，可以合成一个大小为原来$\frac{3}{2}$的电角度和$F_a$相同的矢量，这个矢量在$\alpha \beta$坐标下的分量记为$F_{\alpha },F_{\beta }$。
通过变换$\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$把再$ABC$坐标下的三相矢量$\left[\begin{array}{c}{F}_a\\ F_b\\ F_c\end{array}\right]$变换成了$\alpha \beta$两相坐标下的矢量$\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]$。
这个矩阵就是我们需要的Clarke变换了。
注意：如果$F_a$或$F_b$或$F_c$的大小为F，则$F_{\alpha }$或$F_{\beta }$的大小就是$\frac{3}{2}F$。

那么如何通过$\alpha \beta$坐标下的矢量还原三相$ABC$下的各分量呢，由于：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=\frac{3}{2}F\left[\begin{array}{c}cos\phi \\ sin\phi \end{array}\right]$$
即：$F_{\alpha }=\frac{3}{2}Fcos\phi ,F_{\beta }=\frac{3}{2}Fsin\phi$
而在$ABC$中又有：$F_a=Fcos\phi ,F_b=Fcos(\phi -\frac{2\pi }{3}),F_c=Fcos(\phi +\frac{2\pi }{3})$。
利用简单的三角公式，我们能$F_{\alpha },F_{\beta }$表示$F_a,F_b,F_c$，写成矩阵形式就有：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_a\\ F_b\\ F_c\end{array}\right]=\frac{2}{3}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]$$
这样我们就得到了Clarke反变换。

三、一般实际使用的Clarke变换

上一节中得到了特殊的Clarke变换，正变换后分量的振幅是原来分量的$\frac{3}{2}$，但实际应用中为了适应各种需求，常常在变换中增加系数$K$(例如令$K=\frac{2}{3}$以保证数学变换后振幅相同)，这构成实际的Clarke变换：
Clarke变换：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=K\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_a\\ F_b\\ F_c\end{array}\right]$$
Clarke逆变换：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_a\\ F_b\\ F_c\end{array}\right]=\frac{1}{K}\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]$$

四、Clarke变换的性质

下面规定如下记号，从变换的观点来看Clarke变换的性质：
$$\mathbf{C}=K\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]，{\mathbf{C}}^{-1}=\frac{1}{K}\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3}& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right]$$
注意： 时刻牢记，上述变换是在三相矢量(看公式1)$\left[\begin{array}{c}{F}_a\\ F_b\\ F_c\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]$的集合上进行的，它两都是$\phi$的函数，所以这两向量的实际自由度是一维的，所以存在变换，任意三维矢量和二维是矢量是不存在变换的，所以下面理解变换时不要直接去乘矩阵验证，这里的变换不具有全线性空间的可逆性，下面表述性质的时候不会写出被变换的向量了。
1.变换可逆： $\mathbf{C}{\mathbf{C}}^{-1}=\mathbf{E}，\mathbf{C}{\mathbf{C}}^{-1}=\mathbf{E}$
其中$\mathbf{E}$是变换的单位元，这两个$\mathbf{E}$写法一样，但实际不同，它们作用的矢量空间也不一样，见注意，还有再强调：不要用直接矩阵相乘的观点来看待问题。
2.转置性质：
这个性质从矩阵上很容易看出来
$${\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}=\frac{3K^2}{2}{\mathbf{C}}^{-1}，{{\mathbf{C}}^{-1}}^{\mathbf{T}}=\frac{2}{3K^2}\mathbf{C}$$

五、Park变换

如下图所示：

Park变换实际上就是代表了坐标的旋转，名为$d,q$的坐标系，相对于$\alpha ,\beta$坐标系逆时针旋转了$\theta$角度，则dq坐标系中的矢量变换关系为：
Park变换：
$$\left[\begin{array}{c}{F}_d\\ F_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]$$
Park逆变换
$$\left[\begin{array}{c}{F}_{\alpha }\\ F_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_d\\ F_q\end{array}\right]$$

六、Park变换的性质

下面规定如下记号，容易看出逆Park变换实际上就是把Park变换角度取负，从变换的观点来看Park变换的性质：
$$\mathbf{P}(\mathbf{\theta })=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]，\mathbf{P}(-\mathbf{\theta })=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$
可加性：$\mathbf{P}({\mathbf{\theta }}_1)\mathbf{P}({\mathbf{\theta }}_2)=\mathbf{P}({\mathbf{\theta }}_1+{\mathbf{\theta }}_2)$
交换律：$\mathbf{P}({\mathbf{\theta }}_1)\mathbf{P}({\mathbf{\theta }}_2)=\mathbf{P}({\mathbf{\theta }}_2)\mathbf{P}({\mathbf{\theta }}_1)$
微分性质：$$\frac{d}{dt}\mathbf{P}(\mathbf{\theta })=\frac{d\theta }{dt}\mathbf{P}(\mathbf{\theta }+\frac{\mathbf{\pi }}{2})，\frac{d}{dt}\mathbf{P}(-\mathbf{\theta })=-\frac{d\theta }{dt}\mathbf{P}(-\mathbf{\theta }+\frac{\mathbf{\pi }}{2})$$
运算技巧：
关于矩阵对应的初等变换的意义：
$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
它左乘一个同尺寸的矩阵就是交换两行，而右乘同尺寸的矩阵就是交换两列。
有时候注意到这点可以简化计算。
对易性质：
利用$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$的初等变换的意义可以明显看出：
$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\mathbf{P}(\mathbf{\theta })=\mathbf{P}(-\mathbf{\theta })\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
$$\mathbf{P}(\mathbf{\theta })\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\mathbf{P}(-\mathbf{\theta })$$
特殊角度变换：$\mathbf{P}(\frac{\mathbf{\pi }}{2})=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]，\mathbf{P}(-\frac{\mathbf{\pi }}{2})=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

七、功率的变换

首先注意到，Park变换并不影响变换前后的功率：
$$\left[\begin{array}{cc}{u}_d& u_q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }& u_{\beta }\end{array}\right]P^T(\theta )P(\theta )\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }& u_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$$
再考察Clarke变换，有：
$$\left[\begin{array}{ccc}{u}_a& u_b& u_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }& u_{\beta }\end{array}\right]{C^{-1}}^T{C}^{-1}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$$
利用Clarke变换的转置性质${{\mathbf{C}}^{-1}}^{\mathbf{T}}=\frac{3K^2}{2}\mathbf{C}$：
$$\left[\begin{array}{ccc}{u}_a& u_b& u_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]=\frac{2}{3K^2}\left[\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }& u_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]$$

这里我们看出资料上一般声称Clarke变换中取$K=\sqrt{\frac{2}{3}}$时可变换保持功率不变的原因。

---

总结

通过以上推导搞明白了刚开始接触这些知识的时候关于$K$系数的不同取值的意义。