1、abc坐标系

向永磁同步电机通入如下三相电流
x = -pi:0.01:pi;
u = sin(x);
v = sin(x - 2pi/3);
w = sin(x + 2pi/3);
根据永磁同步电机转矩方程
Te = -np * φf * [iu * sin(θ) + iv * sin(θ – 2pi/3) + iw * sin(θ + 2pi/3)]
设γ = [iu * sin(θ) + iv * sin(θ – 2pi/3) + iw * sin(θ + 2pi/3)]
因为np,φf为常数，转矩与γ成比例
此处重点关注三相电流在各自方向的合成量γ，将三相电流按各自方向画出，用*表示，γ用o表示，随着时间变化，γ做圆周运动。

γ的幅度为相电流幅度峰值的1.5倍
uvw幅值随时间变化波形如下：

2、αβ坐标系

2.1、Clark变换

使α轴与u轴重合，β轴滞后α轴90度，得到
Iα = 3/2Iu;
Iβ = 3/2(Iu + 2*Iv)/sqrt(3);
其中为了使电流幅值不变，乘以系数3/2

2.2、αβ坐标系电流图解

可以看到，因为α轴与u轴重合，αβ坐标系的γ与uvw坐标系中的γ顺时针旋转90度后的运动轨迹一致。
αβ幅值随时间变化波形如下

3.dq坐标系

3.1、park变换

θ=0时，使d轴与α轴重合，得到
Id = Iαcos(θ) + Iβsin(θ);
Iq = Iβcos(θ) - Iαsin(θ);

3.2、dq坐标系电流图解

可以看到，因为d轴与α轴重合，dq坐标系的γ与αβ坐标系中的γ运动轨迹一致。

dq幅值随时间变化波形如下

可见，在不同的坐标系下γ的运动轨迹一致，三种坐标系都能反应电机的运动状态。
因为dq坐标系中d轴电流q轴电流为直流量，可以使用控制直流电机的策略控制交流电机，且d轴方向为永磁同步电机励磁方向，q轴方向为永磁同步电机转矩方向，故矢量控制中使用坐标变换的方式将励磁电流和转矩电流解耦，以便于实现低速大转矩或者弱磁控制。