【数据结构 1】顺序表及其Java实现
【数据结构 2】单向链表及其Java实现
【数据结构 3】双向链表及其Java实现
【数据结构 4】栈及其Java实现
【数据结构 5】队列及其Java实现
【数据结构 6】符号表及其Java实现（使用链表实现）
【数据结构 7】二叉查找树及其Java实现
【数据结构 8】并查集及其Java实现
【数据结构 9】优先队列及其Java实现
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二叉查找树
- 一、什么是树？
- 1.1 树的基本定义
- 1.2 树的相关术语
- 二、二叉树的基本定义
- 2.1 二叉树
- 2.2 满二叉树和完全二叉树
- 三、二叉查找树的创建
- 3.1 二叉树的结点类设计及其代码实现
- 3.2 二叉查找树API设计
- 3.3 二叉查找树的实现思想
- 3.3.1 插入方法put
- 3.3.2 查询方法 get
- 3.3.3 删除方法delete
- 3.4 二叉查找树实现代码
- 四、二叉查找树其他常用的方法设计
- 4.1 查找二叉树种种最小键
- 4.2 查找二叉树种种最大键
- 五、二叉树的遍历
- 5.1 二叉树的基础遍历
- 5.1.1 前序遍历
- 5.1.2 中序遍历
- 5.1.3 后续遍历
- 5.4 二叉树的层序遍历
- 六、二叉树的最大深度问题
- 七、最后二叉查找树完整代码
- 最后的补充说明：
一、什么是树？
1.1 树的基本定义
- 树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 树具有以下特点：
1.每个结点有零个或多个子结点；
2.没有父结点的结点为根结点；
3.每一个非根结点只有一个父结点；
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
1.2 树的相关术语
| 术语 | 解释 |
|---|---|
| 结点的度 | 一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； |
| 叶结点 | 度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点 |
| 分支结点 | 度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点 |
| 结点的层次 | 从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推 |
| 结点的层序编号 | 将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。 |
| 树的度 | 树中所有结点的度的最大值 |
| 树的高度(深度) | 树中结点的最大层次 |
| 孩子结点 | 一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点 |
| 双亲结点(父结点) | 一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点 |
| 兄弟结点 | 同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点 |
| 森林 | m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树 |
二、二叉树的基本定义
2.1 二叉树
- 二叉树就是度不超过 2的树(每个结点最多有两个子结点)
2.2 满二叉树和完全二叉树
- 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
- 完全二叉树：叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。
三、二叉查找树的创建
- 首先需要知道，二叉树和二叉查找树并不是等价的。要使二叉树成为二叉查找树的性质是：对于树中的每个节点X，它的左子树中所有项的值小于X中的项，而它的右子树中所有项的值大于X中的项。
- 简单说就是，对于每个节点来说满足：左节点<节点<右节点。
3.1 二叉树的结点类设计及其代码实现
| 类名 | Node<Key,Value> |
|---|---|
| 构造方法 | Node(Key key, Value value, Node left, Node right)：创建Node对象 |
| 成员变量 1 | public Node left:记录左子结点 |
| 成员变量 2 | public Node right:记录右子结点 |
| 成员变量 3 | public Key key:存储键 |
| 成员变量 4 | public Value value:存储值 |
private class Node<Key,Value>{//存储键public Key key;//存储值private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}
}
3.2 二叉查找树API设计
| 类名 | BinaryTree,Value value> |
|---|---|
| 构造方法 | BinaryTree()：创建BinaryTree对象 |
| 成员变量 1 | private Node root:记录根结点 |
| 成员变量 2 | private int N:记录树中元素的个数 |
| 成员方法1 | public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 |
| 成员方法2 | private Node put(Node x, Key key, Value val)：给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树 |
| 成员方法3 | public Value get(Key key):根据key，从树中找出对应的值 |
| 成员方法4 | private Value get(Node x, Key key):从指定的树x中，找出key对应的值 |
| 成员方法5 | public void delete(Key key):根据key，删除树中对应的键值对 |
| 成员方法6 | private Node delete(Node x, Key key):删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树 |
| 成员方法7 | public int size():获取树中元素的个数 |
3.3 二叉查找树的实现思想
3.3.1 插入方法put
- 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
- 如果当前树不为空，则从根结点开始：
2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。
3.3.2 查询方法 get
从根节点开始：
1.如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
3.如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
3.3.3 删除方法delete
1.找到被删除结点；
2.找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3.删除右子树中的最小结点
4.让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5.让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
3.4 二叉查找树实现代码
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {//记录根结点private Node root;//记录树中元素的个数private int N;private class Node {//存储键public Key key;//存储值private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}//获取树中元素的个数public int size() {return N;}//向树中添加元素key-valuepublic void put(Key key, Value value) {root = put(root, key, value);}//向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树private Node put(Node x, Key key, Value value) {//如果x子树为空，if (x==null){N++;return new Node(key,value, null,null);}//如果x子树不为空//比较x结点的键和key的大小：int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp>0){//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树x.right = put(x.right,key,value);}else if(cmp<0){//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树x.left = put(x.left,key,value);}else{//如果key等于x结点的键，则替换x结点的值为value即可x.value = value;}return x;}//查询树中指定key对应的valuepublic Value get(Key key) {return get(root,key);}//从指定的树x中，查找key对应的值public Value get(Node x, Key key) {//x树为nullif (x==null){return null;}//x树不为null//比较key和x结点的键的大小int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp>0){//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树return get(x.right,key);}else if(cmp<0){//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树return get(x.left,key);}else{//如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可return x.value;}}//删除树中key对应的valuepublic void delete(Key key) {delete(root, key);}//删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树public Node delete(Node x, Key key) {//x树为nullif (x==null){return null;}//x树不为nullint cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp>0){//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树x.right = delete(x.right,key);}else if(cmp<0){//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树x.left = delete(x.left,key);}else{//如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点动作，要删除的结点就是x；//让元素个数-1N--;//得找到右子树中最小的结点if (x.right==null){return x.left;}if (x.left==null){return x.right;}Node minNode = x.right;while(minNode.left!=null){minNode = minNode.left;}//删除右子树中最小的结点Node n = x.right;while(n.left!=null){if (n.left.left==null){n.left=null;}else{//变换n结点即可n = n.left;}}//让x结点的左子树成为minNode的左子树minNode.left = x.left;//让x结点的右子树成为minNode的右子树minNode.right = x.right;//让x结点的父结点指向minNodex = minNode;}return x;}
}
四、二叉查找树其他常用的方法设计
4.1 查找二叉树种种最小键
- 在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，这里设计如下两个方法来完成：
| public Key min() | 找出树中最小的键 |
|---|---|
| private Node min(Node x) | 找出指定树x中，最小键所在的结点 |
//查找整个树中最小的键public Key min(){return min(root).key;}//在指定树x中找出最小键所在的结点private Node min(Node x){//需要判断x还有没有左子结点，如果有，则继续向左找，如果没有，则x就是最小键所在的结点if (x.left!=null){return min(x.left);}else{return x;}}
4.2 查找二叉树种种最大键
- 在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值.这里同样设计两个方法来完成：
| public Key max() | 找出树中最大的键 |
|---|---|
| public Node max(Node x) | 找出指定树x中，最大键所在的结点 |
//在整个树中找到最大的键public Key max(){return max(root).key;}//在指定的树x中，找到最大的键所在的结点public Node max(Node x){//判断x还有没有右子结点，如果有，则继续向右查找，如果没有，则x就是最大键所在的结点if (x.right!=null){return max(x.right);}else{return x;}}
五、二叉树的遍历
5.1 二叉树的基础遍历
-
很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问题。
-
把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：
-
- 前序遍历:先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
-
- 中序遍历:先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
-
- 后序遍历:先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
-
对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：
5.1.1 前序遍历
- 在前边创建的树上，添加前序遍历的API：
| public Queue preErgodic() | 使用前序遍历，获取整个树中的所有键 |
|---|---|
| private void preErgodic(Node x,Queue keys) | 使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中 |
- 实现过程中，通过前序遍历，把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。
- 实现步骤：
1.把当前结点的key放入到队列中;
2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
//获取整个树中所有的键public Queue<Key> preErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();preErgodic(root, keys);return keys;}//获取指定树x的所有键，并放到keys队列中private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return;}//把x结点的key放入到keys中keys.enqueue(x.key);//递归遍历x结点的左子树if (x.left!=null){preErgodic(x.left,keys);}//递归遍历x结点的右子树if (x.right!=null){preErgodic(x.right,keys);}}
5.1.2 中序遍历
- 在前边创建的树上，添加中序遍历的API
| public Queue midErgodic() | 使用中序遍历，获取整个树中的所有键 |
|---|---|
| private void midErgodic(Node x,Queue keys) | 使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中 |
- 实现步骤：
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.把当前结点的key放入到队列中;
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
//使用中序遍历获取树中所有的键public Queue<Key> midErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();midErgodic(root,keys);return keys;}//使用中序遍历，获取指定树x中所有的键，并存放到key中private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return;}//先递归，把左子树中的键放到keys中if (x.left!=null){midErgodic(x.left,keys);}//把当前结点x的键放到keys中keys.enqueue(x.key);//在递归，把右子树中的键放到keys中if(x.right!=null){midErgodic(x.right,keys);}}
5.1.3 后续遍历
- 在前边创建的树上，添加后序遍历的API
| public Queue afterErgodic() | 使用后序遍历，获取整个树中的所有键 |
|---|---|
| private void afterErgodic(Node x,Queue keys) | 使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中 |
- 实现步骤：
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
3.把当前结点的key放入到队列中;
//使用后序遍历，把整个树中所有的键返回public Queue<Key> afterErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();afterErgodic(root,keys);return keys;}//使用后序遍历，把指定树x中所有的键放入到keys中private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return ;}//通过递归把左子树中所有的键放入到keys中if (x.left!=null){afterErgodic(x.left,keys);}//通过递归把右子树中所有的键放入到keys中if (x.right!=null){afterErgodic(x.right,keys);}//把x结点的键放入到keys中keys.enqueue(x.key);}
5.4 二叉树的层序遍历
- 所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值。
- 在前边创建的树上，添加层序遍历的API
| public Queue layerErgodic() | 使用层序遍历，获取整个树中的所有键 |
|---|
- 实现步骤：
1.创建队列，存储每一层的结点；
2.使用循环从队列中弹出一个结点：
2.1获取当前结点的key；
2.2如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
2.3如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
//使用层序遍历，获取整个树中所有的键public Queue<Key> layerErgodic(){//定义两个队列，分别存储树中的键和树中的结点Queue<Key> keys = new Queue<>();Queue<Node> nodes = new Queue<>();//默认，往队列中放入根结点nodes.enqueue(root);while(!nodes.isEmpty()){//从队列中弹出一个结点，把key放入到keys中Node n = nodes.dequeue();keys.enqueue(n.key);//判断当前结点还有没有左子结点，如果有，则放入到nodes中if (n.left!=null){nodes.enqueue(n.left);}//判断当前结点还有没有右子结点，如果有，则放入到nodes中if (n.right!=null){nodes.enqueue(n.right);}}return keys;}
六、二叉树的最大深度问题
- 问题背景：给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）
- 在前边创建的树上，添加如下的API求最大深度
| public int maxDepth() | 计算整个树的最大深度 |
|---|---|
| private int maxDepth(Node x) | 计算指定树x的最大深度 |
- 实现步骤：
1.如果根结点为空，则最大深度为0；
2.计算左子树的最大深度；
3.计算右子树的最大深度；
4.当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
//获取整个树的最大深度public int maxDepth(){return maxDepth(root);}//获取指定树x的最大深度private int maxDepth(Node x){if (x==null){return 0;}//x的最大深度int max=0;//左子树的最大深度int maxL=0;//右子树的最大深度int maxR=0;//计算x结点左子树的最大深度if (x.left!=null){maxL = maxDepth(x.left);}//计算x结点右子树的最大深度if (x.right!=null){maxR = maxDepth(x.right);}//比较左子树最大深度和右子树最大深度，取较大值+1即可max = maxL>maxR?maxL+1:maxR+1;return max;}
七、最后二叉查找树完整代码
- 在先前的二叉查找树上增加了查找最小最大键、前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历、最大深度。
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {//记录根结点private Node root;//记录树中元素的个数private int N;private class Node {//存储键public Key key;//存储值private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}//获取树中元素的个数public int size() {return N;}//向树中添加元素key-valuepublic void put(Key key, Value value) {root = put(root, key, value);}//向指定的树x中添加key-value,并返回添加元素后新的树private Node put(Node x, Key key, Value value) {//如果x子树为空，if (x==null){N++;return new Node(key,value, null,null);}//如果x子树不为空//比较x结点的键和key的大小：int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp>0){//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树x.right = put(x.right,key,value);}else if(cmp<0){//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树x.left = put(x.left,key,value);}else{//如果key等于x结点的键，则替换x结点的值为value即可x.value = value;}return x;}//查询树中指定key对应的valuepublic Value get(Key key) {return get(root,key);}//从指定的树x中，查找key对应的值public Value get(Node x, Key key) {//x树为nullif (x==null){return null;}//x树不为null//比较key和x结点的键的大小int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp>0){//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树return get(x.right,key);}else if(cmp<0){//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树return get(x.left,key);}else{//如果key等于x结点的键，就找到了键为key的结点，只需要返回x结点的值即可return x.value;}}//删除树中key对应的valuepublic void delete(Key key) {delete(root, key);}//删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树public Node delete(Node x, Key key) {//x树为nullif (x==null){return null;}//x树不为nullint cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp>0){//如果key大于x结点的键，则继续找x结点的右子树x.right = delete(x.right,key);}else if(cmp<0){//如果key小于x结点的键，则继续找x结点的左子树x.left = delete(x.left,key);}else{//如果key等于x结点的键，完成真正的删除结点动作，要删除的结点就是x；//让元素个数-1N--;//得找到右子树中最小的结点if (x.right==null){return x.left;}if (x.left==null){return x.right;}Node minNode = x.right;while(minNode.left!=null){minNode = minNode.left;}//删除右子树中最小的结点Node n = x.right;while(n.left!=null){if (n.left.left==null){n.left=null;}else{//变换n结点即可n = n.left;}}//让x结点的左子树成为minNode的左子树minNode.left = x.left;//让x结点的右子树成为minNode的右子树minNode.right = x.right;//让x结点的父结点指向minNodex = minNode;}return x;}//查找整个树中最小的键public Key min(){return min(root).key;}//在指定树x中找出最小键所在的结点private Node min(Node x){//需要判断x还有没有左子结点，如果有，则继续向左找，如果没有，则x就是最小键所在的结点if (x.left!=null){return min(x.left);}else{return x;}}//在整个树中找到最大的键public Key max(){return max(root).key;}//在指定的树x中，找到最大的键所在的结点public Node max(Node x){//判断x还有没有右子结点，如果有，则继续向右查找，如果没有，则x就是最大键所在的结点if (x.right!=null){return max(x.right);}else{return x;}}//获取整个树中所有的键public Queue<Key> preErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();preErgodic(root, keys);return keys;}//获取指定树x的所有键，并放到keys队列中private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return;}//把x结点的key放入到keys中keys.enqueue(x.key);//递归遍历x结点的左子树if (x.left!=null){preErgodic(x.left,keys);}//递归遍历x结点的右子树if (x.right!=null){preErgodic(x.right,keys);}}//使用中序遍历获取树中所有的键public Queue<Key> midErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();midErgodic(root,keys);return keys;}//使用中序遍历，获取指定树x中所有的键，并存放到key中private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return;}//先递归，把左子树中的键放到keys中if (x.left!=null){midErgodic(x.left,keys);}//把当前结点x的键放到keys中keys.enqueue(x.key);//在递归，把右子树中的键放到keys中if(x.right!=null){midErgodic(x.right,keys);}}//使用后序遍历，把整个树中所有的键返回public Queue<Key> afterErgodic(){Queue<Key> keys = new Queue<>();afterErgodic(root,keys);return keys;}//使用后序遍历，把指定树x中所有的键放入到keys中private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys){if (x==null){return ;}//通过递归把左子树中所有的键放入到keys中if (x.left!=null){afterErgodic(x.left,keys);}//通过递归把右子树中所有的键放入到keys中if (x.right!=null){afterErgodic(x.right,keys);}//把x结点的键放入到keys中keys.enqueue(x.key);}//使用层序遍历，获取整个树中所有的键public Queue<Key> layerErgodic(){//定义两个队列，分别存储树中的键和树中的结点Queue<Key> keys = new Queue<>();Queue<Node> nodes = new Queue<>();//默认，往队列中放入根结点nodes.enqueue(root);while(!nodes.isEmpty()){//从队列中弹出一个结点，把key放入到keys中Node n = nodes.dequeue();keys.enqueue(n.key);//判断当前结点还有没有左子结点，如果有，则放入到nodes中if (n.left!=null){nodes.enqueue(n.left);}//判断当前结点还有没有右子结点，如果有，则放入到nodes中if (n.right!=null){nodes.enqueue(n.right);}}return keys;}//获取整个树的最大深度public int maxDepth(){return maxDepth(root);}//获取指定树x的最大深度private int maxDepth(Node x){if (x==null){return 0;}//x的最大深度int max=0;//左子树的最大深度int maxL=0;//右子树的最大深度int maxR=0;//计算x结点左子树的最大深度if (x.left!=null){maxL = maxDepth(x.left);}//计算x结点右子树的最大深度if (x.right!=null){maxR = maxDepth(x.right);}//比较左子树最大深度和右子树最大深度，取较大值+1即可max = maxL>maxR?maxL+1:maxR+1;return max;}
}
最后的补充说明：
补充说明：
首先要明白二叉树包含二叉查找树，是比二叉查找树更大的概念。
上述的4种遍历方法（前序、中序、后序、层序），是对所有二叉树都适用的。
上述的求最大深度也是对所有二叉树都适用的。
上述的求最大键和最小键不对所有二叉树适用，仅适用于二叉查找树。
