一、树

1、树的含义

树（Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合T，它满足两个条件 ：

• 有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；
• 其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树

表示方法 ：树形表示法、目录表示法。

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2、树的特点(选看)

（1）结点与度数

• 一个节点的子树的个数称为该节点的度数
• 一棵树的度数是指该树中节点的最大度数
• 度数为零的节点称为树叶或终端节点
• 度数不为零的节点称为分支节点
• 除根节点外的分支节点称为内部节点。
  

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（2）路径与层数

• 一个节点系列k1,k2, ……,ki,ki+1, ……,kj,并满足ki是ki+1的父节点，就称为一条从k1到kj的路径
• 路径的长度为j-1,即路径中的边数。
• 路径中前面的节点是后面节点的祖先，后面节点是前面节点的子孙。
• 节点的层数等于父节点的层数加一，根节点的层数定义为一。树中节点层数的最大值称为该树的高度或深度。
  

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（3）有序树与森林

• 若树中每个节点的各个子树的排列为从左到右，不能交换，即兄弟之间是有序的，则该树称为有序树。
• m（m≥0）棵互不相交的树的集合称为森林。
• 树去掉根节点就成为森林，森林加上一个新的根节点就成为树。

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3、树的逻辑结构

树中任何节点都可以有零个或多个直接后继节点（子节点），但至多只有一个直接前趋节点（父节点），根节点没有前趋节点，叶节点没有后继节点。

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二、二叉树

1、二叉树的含义

二叉树是n（n≥0）个节点的有限集合或者是空集（n＝0）或者是由一个根节点以及两棵互不相交的.
分别称为左子树和右子树的二叉树组成
严格区分左孩子和右孩子，即使只有一个子节点也要区分左右。

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2、二叉树性质

• 二叉树第i（i≥1）层上的节点最多为2^(i-1)个。
• 深度为k（k≥1）的二叉树最多有2^k－1个节点。

满二叉树 ：深度为k（k≥1）时有2k－1个节点的二叉树。

完全二叉树 ：只有最下面两层有度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。

具有n个节点的完全二叉树的深度为（log2n）＋1或 log2(n+1)。

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3、二叉树-顺序存储

顺序存储结构 ：完全二叉树节点的编号方法是从上到下，从左到右，根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n，某节点编号为i。

• 当 i＞1（不是根节点）时，有父节点，其编号为i/2;
• 当 2*i≤n时，有左孩子，其编号为2*i ,否则没有左孩子，本身是叶节点;
• 当 2*i＋1≤n时，有右孩子，其编号为2*i+1 ,否则没有右孩子；
• 当 i为奇数且不为1时，有左兄弟，其编号为i-1,否则没有左兄弟；
• 当 i为偶数且小于n时，有右兄弟，其编号为i＋1,否则没有右兄弟；

有n个节点的完全二叉树可以用有n+1个元素的数组进行顺序存储，节点号和数组下标一一对应，下标为零的元素不用。

利用以上特性，可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树，然后用数组存储，这要浪费一些存储空间。

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4、二叉树-链式存储

示意图：

结构体定义：

typedef char datatype;  
typedef struct node_t
{datatype data;  //序号struct node_t *left_tree;  //左结点指针struct node_t *right_tree; //右结点指针
}bittree;

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5、二叉树的遍历

遍历 ：沿某条搜索路径周游二叉树，对树中的每一个节点访问一次且仅访问一次。

二叉树是非线性结构，每个结点有两个后继，则存在如何遍历即按什么样的搜索路径进行遍历的问题。

由于二叉树的递归性质，遍历算法也是递归的。

三种基本的遍历算法如下 ：

• 先序序列:先访问树根，再访问左子树，最后访问右子树；
• 中序序列:先访问左子树，再访问树根，最后访问右子树；
• 后序序列:先访问左子树，再访问右子树，最后访问树根；
  示例：
  

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6、二叉树创建与遍历C程序的实现

（1）二叉树的创建

/*** @description: 二叉树的创建* @param {*}* @return {r-二叉树根节点的地址}*/
bittree *tree_create()
{datatype value;bittree *r;scanf("%c", &value);if(value == '#')return NULL;r = (bittree *)malloc(sizeof(bittree));if(r == NULL){#if DEBUG printf("bittree create error!\n");#endifreturn NULL;}r->data = value;r->left_tree = tree_create();r->right_tree = tree_create();return r;
}

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（2）前序遍历法

/*** @description: 前序遍历法* @param {bittree} *r-二叉树根节点的地址* @return {0-没有子结点时，1-函数结点}*/
int preorder(bittree *r)
{if(r == NULL)return 0;printf("%c ", r->data);preorder(r->left_tree);preorder(r->right_tree);return 1;
}

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（3）中序遍历

/*** @description: 中序遍历* @param {bittree} *r-二叉树根节点的地址* @return {0-没有子结点时，1-函数结点}*/
int inorder(bittree *r)
{if(r == NULL)return 0;inorder(r->left_tree);printf("%c ", r->data);inorder(r->right_tree);return 1;
}

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（4）后序遍历

/*** @description: 后序遍历* @param {bittree} *r-二叉树根节点的地址* @return {0-没有子结点时，1-函数结点}*/
int backorder(bittree *r)
{if(r == NULL)return 0;backorder(r->left_tree);backorder(r->right_tree);printf("%c ", r->data);return 1;
}

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（4）层数遍历

需要应用链表队列

/*** @description: 层次遍历* @param {bittree} *r-二叉树根节点的地址* @return {0-函数失败，1-函数成功}*/
int levelorder(bittree *r)
{linkqueue lq;if(r == NULL){#if DEBUGprintf("r is NULL\n");#endifreturn 0;}if((lq = linkqueue_create()) == NULL)return 0;linkqueue_enter(lq, r);while(!linkqueue_empty(lq)){r = linkqueue_out(lq);printf("%c ",r->data);if(r->left_tree != NULL)linkqueue_enter(lq, r->left_tree);if(r->right_tree != NULL)linkqueue_enter(lq, r->right_tree);}puts("");return 1;
}

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三、完整程序链接

二叉树C语言程序实现

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到这里就结束啦！