哈夫曼树的C语言实现

什么是哈夫曼树

当用 n 个结点（都做叶子结点且都有各自的权值）试图构建一棵树时，如果构建的这棵树的带权路径长度最小，称这棵树为“最优二叉树”，有时也叫“赫夫曼树”或者“哈夫曼树”。

在构建哈弗曼树时，要使树的带权路径长度最小，只需要遵循一个原则，那就是：权重越大的结点离树根越近。在图 1 中，因为结点 a 的权值最大，所以理应直接作为根结点的孩子结点。

哈夫曼树相关的几个名词

路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。图 1 中，从根结点到结点 a 之间的通路就是一条路径。

路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。例如在一棵树中，规定根结点所在层数为1层，那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。图 1 中从根结点到结点 c 的路径长度为 3。

结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。例如，图 1 中结点 a 的权为 7，结点 b 的权为 5。

结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。例如，图 1 中结点 b 的带权路径长度为 2 * 5 = 10 。

树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。例如图 1 中所示的这颗树的带权路径长度为：

WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3

构建哈夫曼树

对于给定的有各自权值的 n 个结点，构建哈夫曼树有一个行之有效的办法：

在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和；
在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中，以此类推；
重复 1 和 2 ，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树。

图 2 中，（A）给定了四个结点a，b，c，d，权值分别为7，5，2，4；第一步如（B）所示，找出现有权值中最小的两个，2 和 4 ，相应的结点 c 和 d 构建一个新的二叉树，树根的权值为 2 + 4 = 6，同时将原有权值中的 2 和 4 删掉，将新的权值 6 加入；进入（C），重复之前的步骤。直到（D）中，所有的结点构建成了一个全新的二叉树，这就是哈夫曼树。

哈弗曼树中结点结构

构建哈夫曼树时，首先需要确定树中结点的构成。由于哈夫曼树的构建是从叶子结点开始，不断地构建新的父结点，直至树根，所以结点中应包含指向父结点的指针。但是在使用哈夫曼树时是从树根开始，根据需求遍历树中的结点，因此每个结点需要有指向其左孩子和右孩子的指针。

所以，哈夫曼树中结点构成用代码表示为：

//哈夫曼树结点结构
typedef struct {
int weight;//结点权重
int parent, left, right;//父结点、左孩子、右孩子在数组中的位置下标
}HTNode, *HuffmanTree;

哈弗曼树中的查找算法思想

构建哈夫曼树时，需要每次根据各个结点的权重值，筛选出其中值最小的两个结点，然后构建二叉树。

查找权重值最小的两个结点的思想是：从树组起始位置开始，首先找到两个无父结点的结点（说明还未使用其构建成树），然后和后续无父结点的结点依次做比较，有两种情况需要考虑：

如果比两个结点中较小的那个还小，就保留这个结点，删除原来较大的结点；
如果介于两个结点权重值之间，替换原来较大的结点；

哈夫曼编码

哈夫曼编码就是在哈夫曼树的基础上构建的，这种编码方式最大的优点就是用最少的字符包含最多的信息内容。

根据发送信息的内容，通过统计文本中相同字符的个数作为每个字符的权值，建立哈夫曼树。对于树中的每一个子树，统一规定其左孩子标记为 0 ，右孩子标记为 1 。这样，用到哪个字符时，从哈夫曼树的根结点开始，依次写出经过结点的标记，最终得到的就是该结点的哈夫曼编码。

文本中字符出现的次数越多，在哈夫曼树中的体现就是越接近树根。编码的长度越短。

如图 3 所示，字符 a 用到的次数最多，其次是字符 b 。字符 a 在哈夫曼编码是 0 ，字符 b 编码为 10 ，字符 c 的编码为 110 ，字符 d 的编码为 111 。

使用程序求哈夫曼编码有两种方法：

从叶子结点一直找到根结点，逆向记录途中经过的标记。例如，图 3 中字符 c 的哈夫曼编码从结点 c 开始一直找到根结点，结果为：0 1 1 ，所以字符 c 的哈夫曼编码为：1 1 0（逆序输出）。
从根结点出发，一直到叶子结点，记录途中经过的标记。例如，求图 3 中字符 c 的哈夫曼编码，就从根结点开始，依次为：1 1 0。

完整代码

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
//哈夫曼树结点结构
typedef struct {int weight;//结点权重int parent, left, right;//父结点、左孩子、右孩子在数组中的位置下标
}HTNode, *HuffmanTree;
//动态二维数组，存储哈夫曼编码
typedef char ** HuffmanCode;
//HT数组中存放的哈夫曼树，end表示HT数组中存放结点的最终位置，s1和s2传递的是HT数组中权重值最小的两个结点在数组中的位置
void Select(HuffmanTree HT, int end, int *s1, int *s2)
{int min1, min2;//遍历数组初始下标为 1int i = 1;//找到还没构建树的结点while (HT[i].parent != 0 && i <= end) {i++;}min1 = HT[i].weight;*s1 = i;i++;while (HT[i].parent != 0 && i <= end) {i++;}//对找到的两个结点比较大小，min2为大的，min1为小的if (HT[i].weight < min1) {min2 = min1;*s2 = *s1;min1 = HT[i].weight;*s1 = i;}else {min2 = HT[i].weight;*s2 = i;}//两个结点和后续的所有未构建成树的结点做比较for (int j = i + 1; j <= end; j++){//如果有父结点，直接跳过，进行下一个if (HT[j].parent != 0) {continue;}//如果比最小的还小，将min2=min1，min1赋值新的结点的下标if (HT[j].weight < min1) {min2 = min1;min1 = HT[j].weight;*s2 = *s1;*s1 = j;}//如果介于两者之间，min2赋值为新的结点的位置下标else if (HT[j].weight >= min1 && HT[j].weight < min2) {min2 = HT[j].weight;*s2 = j;}}
}
//HT为地址传递的存储哈夫曼树的数组，w为存储结点权重值的数组，n为结点个数
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree *HT, int *w, int n)
{if (n <= 1) return; // 如果只有一个编码就相当于0int m = 2 * n - 1; // 哈夫曼树总节点数，n就是叶子结点*HT = (HuffmanTree)malloc((m + 1) * sizeof(HTNode)); // 0号位置不用HuffmanTree p = *HT;// 初始化哈夫曼树中的所有结点for (int i = 1; i <= n; i++){(p + i)->weight = *(w + i - 1);(p + i)->parent = 0;(p + i)->left = 0;(p + i)->right = 0;}//从树组的下标 n+1 开始初始化哈夫曼树中除叶子结点外的结点for (int i = n + 1; i <= m; i++){(p + i)->weight = 0;(p + i)->parent = 0;(p + i)->left = 0;(p + i)->right = 0;}//构建哈夫曼树for (int i = n + 1; i <= m; i++){int s1, s2;Select(*HT, i - 1, &s1, &s2);(*HT)[s1].parent = (*HT)[s2].parent = i;(*HT)[i].left = s1;(*HT)[i].right = s2;(*HT)[i].weight = (*HT)[s1].weight + (*HT)[s2].weight;}
}
//HT为哈夫曼树，HC为存储结点哈夫曼编码的二维动态数组，n为结点的个数
void HuffmanCoding(HuffmanTree HT, HuffmanCode *HC, int n) {*HC = (HuffmanCode)malloc((n + 1) * sizeof(char *));char *cd = (char *)malloc(n * sizeof(char)); //存放结点哈夫曼编码的字符串数组cd[n - 1] = '\0';//字符串结束符for (int i = 1; i <= n; i++) {//从叶子结点出发，得到的哈夫曼编码是逆序的，需要在字符串数组中逆序存放int start = n - 1;//当前结点在数组中的位置int c = i;//当前结点的父结点在数组中的位置int j = HT[i].parent;// 一直寻找到根结点while (j != 0) {// 如果该结点是父结点的左孩子则对应路径编码为0，否则为右孩子编码为1if (HT[j].left == c)cd[--start] = '0';elsecd[--start] = '1';//以父结点为孩子结点，继续朝树根的方向遍历c = j;j = HT[j].parent;}//跳出循环后，cd数组中从下标 start 开始，存放的就是该结点的哈夫曼编码(*HC)[i] = (char *)malloc((n - start) * sizeof(char));strcpy_s((*HC)[i],4, &cd[start]);}//使用malloc申请的cd动态数组需要手动释放free(cd);
}
//打印哈夫曼编码的函数
void PrintHuffmanCode(HuffmanCode htable, int *w, int n)
{printf("Huffman code : \n");for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d code = %s\n", w[i - 1], htable[i]);
}
int main(void)
{int w[5] = { 2, 8, 7, 6, 5 };int n = 5;HuffmanTree htree;HuffmanCode htable;CreateHuffmanTree(&htree, w, n);HuffmanCoding(htree, &htable, n);PrintHuffmanCode(htable, w, n);return 0;
}

运行结果