哈夫曼树详解

一、哈夫曼树的介绍

Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。

定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。

(1) 路径和路径长度

定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。

(2) 结点的权及带权路径长度

定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。

(3) 树的带权路径长度

定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。

比较下面两棵树

上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。

左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360 右边的树WPL=290

左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该对哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

二、哈夫曼树的图文解析

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：

1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)； 2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和； 3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林； 4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。

第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！

三、哈夫曼树的基本操作

哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。

1. 基本定义

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HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。

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Huffman是哈夫曼树对应的类，它包含了哈夫曼树的根节点和哈夫曼树的相关操作。

2. 构造哈夫曼树

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首先创建最小堆，然后进入for循环。

每次循环时：

(1) 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆)； (2) 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆； (3) 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点； (4) 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。

四、哈夫曼树的完整源码

1. 哈夫曼树的节点类(HuffmanNode.java)

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2. 哈夫曼树的实现文件(Huffman.java)

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3. 哈夫曼树对应的最小堆(MinHeap.java)

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4. 哈夫曼树的测试程序(HuffmanTest.java)

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五个字符：a,b,c,d,e,它们出现的的频率为8，14，10，4，18构造相应的哈夫曼树，求出每个字符的哈夫曼编码：

哈夫曼树：

/ \

22 32

/ \ / \

c10 12 b14 e18

/ \

d4 a8哈夫曼编码：

a:011 b:10 c:00 d:010 e:11

今天做题的时候，遇到了一个关于哈夫曼树的题，由于一直不是很明白哈夫曼树的构造过程，所以找了很多资料都不是特别清楚的，直到我遇到了这篇文章，哈哈，在此分享给大家哦！

注意：哈夫曼树并不唯一，但带权路径长度一定是相同的。

（1）8个结点的权值大小如下：

（2）从19，21，2，3，6，7，10，32中选择两个权小结点。选中2，3。同时算出这两个结点的和5。

（3）从19，21，6，7，10，32，5中选出两个权小结点。选中5，6。同时计算出它们的和11。

（4）从19，21，7，10，32，11中选出两个权小结点。选中7，10。同时计算出它们的和17。（BTW：这时选出的两个数字都不是已经构造好的二叉树里面的结点，所以要另外开一棵二叉树；或者说，如果两个数的和正好是下一步的两个最小数的其中的一个，那么这个树直接往上生长就可以了，如果这两个数的和比较大，不是下一步的两个最小数的其中一个，那么就并列生长。）

（4）从19，21，7，10，32，11中选出两个权小结点。选中7，10。同时计算出它们的和17。

（BTW：这时选出的

两个数字都不是已经构造好的二叉树里面的结点

，所以要另外开一棵二叉树；或者说，

如果两个数的和正好是下一步的两个最小数的其中的一个

，那么这个树直接往上生长就可以了，如果这两个数的和比较大，不是下一步的两个最小数的其中一个，那么就并列生

长。）