简介

\qquad 傅里叶变换的缩放性质是其最基本的性质之一。假设图像$g(x,y)$是一个关于$x$和$y$的二维信号，那么它们在空域作缩放变换之后，频域坐标也会发生缩放，用公式可以表示为

$$\begin{gathered} G(f_x,f_y)=\Im [g(x,y)] \\ \Im [g(\frac{x}{a},\frac{y}{b})]=|ab|G(a{f}_x,b{f}_y)\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

其中，A和B都是常量，$\Im$是傅里叶变换算符。上面这个公式本质上可以拆分为两部分，第一部分是能量守恒，图像放大在$x$方向上放大了$|a|$倍，在$y$方向上放大了$|b|$倍，那么其总的能量放大了$|ab|$倍，所以频域乘上了$|ab|$。第二部分是坐标缩放，频域与空域坐标存在一个倒数的关系，所以空域除相当于频域乘。

代码

%%%%%%%%%%%%验证傅里叶变换的线性性质%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%验证傅里叶变换的缩放%%%%%%%%%%%%%%
clc;
clear;
close all;%% 产生直径20um的小孔
L = 100;% 物体边长100um
M = 1000;% 采样点数1000；
dx = L/M;% 采样间隔
dy = dx;
x = -L/2:dx:L/2-dx;% 一维坐标
y= x;
fx = -1/(2*dx):1/L:1/(2*dx)-1/L;
fy = fx;
[X,Y] = meshgrid(x,y);%二维坐标
D = 20;
circle = (X.^2+Y.^2)<=(D/2)^2;
circle_FFT = fftshift(fft2(circle))/(M*M);%% 缩放(放大两倍）
a = 2;
b = 2;
x2 = x/a;
y2 = y/b;
[X2,Y2] = meshgrid(x2,y2);
circle2 = (X2.^2+Y2.^2)<=(D/2)^2;
circle2_FFT = fftshift(fft2(circle2))/(M*M);%% 验证
figure('Name','小孔');
subplot(121)
imagesc(x,y,circle)
colormap('gray');
axis square;
axis xy
xlabel('x (\mum)');ylabel('y (\mum)');title('缩放前');subplot(122)
imagesc(x,y,circle2)
colormap('gray');
axis square;
axis xy
xlabel('x (\mum)');ylabel('y (\mum)');title('缩放后');figure('Name','小孔频谱');
subplot(121)
surf(fx,fy,abs(circle_FFT));
camlight right;
lighting phong;
shading interp
ylabel('fy (cyc/\mum)');xlabel('fx (cyc/\mum)');title('缩放前');subplot(122)
surf(fx,fy,abs(circle2_FFT));
camlight right;
lighting phong;
shading interp
ylabel('fy (cyc/\mum)');xlabel('fx (cyc/\mum)');title('缩放后');

结果

1.缩放前后小孔

\qquad 在代码中，设置$a=b=2$，相当于将小孔放大了两倍，实际的结果与理论一致。

2.缩放前后频谱

\qquad 在代码中，设置$a=b=2$，在频谱的中心，能量由0.03142变为0.1256，扩大了4倍，与理论值一致，同时，衍射能量在缩放后更加集中，即频域图像实际是变小变高了。