一、实序列的 幅频特性 和 相频特性 对称性质

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如果 $x(n)$ 序列是 " 实序列 " , 则有 :

$$X(e^{j\omega })=X^{\ast }(e^{-j\omega })$$

" 实序列 " 的 " 幅频特性 ( 傅里叶变换取绝对值 ) " 是 偶对称 的 ,

" 实序列 " 的 " 相频特性 ( 相角 ) " 是 奇对称 的 ;

上述概念 适用于 连续傅里叶变换 , 离散傅里叶变换 , 序列傅里叶变换 ;

二、性质由来

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上面的概念中 , 使用到了 如下定理 : 参考 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | x(n) 分解为实部序列与虚部序列 | 实部傅里叶变换 | 虚部傅里叶变换 | 共轭对称傅里叶变换 | 共轭反对称傅里叶变换 ) 博客 ;

$x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

任意一个 " 实序列 " , 其傅里叶变换 , 一定是共轭对称的 ;

共轭对称性质中 , 实部 偶对称 , 虚部 奇对称 , 模 偶对称 ,

其中 模 就是 幅频特性 ,

相角 奇对称 , 相角 是 相频特性 ;

上述对称性质 , 可以参考 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 共轭对称与共轭反对称图像示例 | 实序列中共轭对称是偶对称 | 实序列中共轭反对称是奇对称 ) 博客中的图像示例 ;

三、示例说明

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下图是 矩形窗函数 的 频谱 ( 幅频特性 / 傅里叶变换取模 ) :

矩形窗 高度是 $20$ , 关于 $0$ 点偶对称 ;

下图是 矩形窗函数 的 相频特性 ( 相角 ) : 关于 $0$ 原点 奇对称 ;