傅里叶变换的基本性质

总的来说，傅里叶变换有这样几个性质：

线性性质（Linearity）
平移性质（Shift）
对称性质（Symmetry）
卷积性质（Convolution）

参考傅里叶变换-wikipedia

线性性质

线性性质：两个函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和，反之亦然
linearity

import numpy as np
from scipy.fftpack import fft
import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inline

def generate_complex_signal(num_sample, k0):'''generate a complex signalnum_sample : 信号的个数，即公式中的Nk0 : 周期个数returnsx : 复正弦信号'''n = np.arange(num_sample)x = np.exp(1j*2*np.pi*k0*n/num_sample)return x

num_sample = 100
k0 = 20
x1 = generate_complex_signal(num_sample, k0)num_sample = 100
k0 = 10
x2 = generate_complex_signal(num_sample, k0)X1 = fft(x1);
X2 = fft(x2);
mX1 = np.abs(X1);
mX2 = np.abs(X2);x12 = x1 + x2;  # adding two signal
X12 = fft(x12);
mX12 = np.abs(X12);# plot the results
plt.figure(figsize=(15,6))plt.subplot(321)
plt.plot(x1)
plt.subplot(322)
plt.plot(x2)plt.subplot(323)
plt.plot(mX1)
plt.subplot(324)
plt.plot(mX2)plt.subplot(325)
plt.plot(mX1 + mX2)
plt.subplot(326)
plt.plot(mX12)plt.show();

png

平移性质

在时域上对信号进行平移，那么等价于在频域的复平面上旋转一个角度

相反的，频域的复平面上旋转一个角度，等价于时域上的平移

可以证明平移只对DFT的相位有影响，并不会改变DFT的幅度

shift

x1 = np.linspace(0, 1.0, 50)
x1 = np.append(x1,0)
x1 = np.append(x1,np.linspace(-1.0, 0, 50))shifted_x = np.roll(x1, 10) # shift signalX1 = fft(x1)
shiftedX = fft(shifted_x)mX1 = np.abs(X1)
pX1 = np.angle(X1)
pX1 = np.unwrap(pX1)mshiftedX = np.abs(shiftedX)
pshiftedX = np.angle(shiftedX)
pshiftedX = np.unwrap(pshiftedX)# plot the results
plt.figure(figsize=(15,6))plt.subplot(321)
plt.plot(x1)
plt.subplot(322)
plt.plot(shifted_x)plt.subplot(323)
plt.plot(mX1)
plt.subplot(324)
plt.plot(mshiftedX)plt.subplot(325)
plt.plot(pX1)
plt.subplot(326)
plt.plot(pshiftedX)plt.show();

png

对称性质

当x是实数信号，其傅里叶变换为X，则有对称性质：

$\mathfrak{R}\{X\}$ 是偶对称 $\mathfrak{Z}\{X\}$ 是奇对称
$∣ X ∣$ 是偶对称， $< ∣ X ∣$ 是奇对称

当x是偶对称的实数信号，其傅里叶变换为X，则有对称性质：

$\mathfrak{R}\{X\}$ 是偶对称 $\mathfrak{Z}\{X\}=0$
$∣ X ∣$ 是偶对称， $<|X|=n\pi$ 或者0

$\mathfrak{R}$ 表示取实部， $\mathfrak{Z}$ 表示取虚部， $∣ X ∣$ 为幅度， $< ∣ X ∣$ 表示相位

（找不到合适的例子，就不写代码了，直接上课件中的图片）

symmetry
symmetry2

卷积性质

在时域上的卷积操作，可以转换为两个信号傅里叶变换后的点乘操作

相反的，傅里叶变换后的点乘，在时域上表现为卷积

convolution

convolution2

from scipy.signal import get_windowx1 = get_window('hanning', 256)
x2 = np.cos( np.linspace(0, 2*np.pi, 256) )
conv_x = np.convolve(x1, x2, 'same')X1 = fft(x1)
X2 = fft(x2)
CX = fft(conv_x)plt.figure(figsize=(15,6))plt.subplot(321)
plt.plot(x1)
plt.subplot(322)
plt.plot(x2)plt.subplot(323)
plt.plot(np.abs(X1))
plt.subplot(324)
plt.plot(np.abs(X2))plt.subplot(325)
plt.plot(np.abs(CX))
plt.subplot(326)
plt.plot(np.abs(X1*X2))plt.show()