一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例

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$x(n)=a^{n}u(n)$ , 且 $|a|<1$

1、序列傅里叶变换共轭对称性质

1、序列实部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

2、序列虚部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 虚部 $x_I(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭反对称序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 具备 共轭反对称性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_o(e^{j\omega })$$

3、共轭对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

4、共轭反对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{⟷}j{X}_I(e^{j\omega })$$

2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换

根据 傅里叶变换公式 计算 $x(n)$ 的傅里叶变换 , 公式如下 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

将

$$a^{n}u(n)$$

序列 , 直接带入到

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}^n{e}^{-j\omega n}$$

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

$$X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

3、序列分析

该信号 $x(n)$ 是实信号 , 该信号既不是偶对称的 , 也不是奇对称的 ;

• 只有序列是偶对称时 , 才有 $x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$ 性质 ,

• 只有序列是奇对称时 , 才有 $x_o(n)\stackrel{SFT}{⟷}j{X}_I(e^{j\omega })$ 性质 ;

因此 , 这里 $x(n)$ 的傅里叶变换 , 既不是实数 , 也不是虚数 , 那么就一定是复数 ;

分析 $x(n)$ 的傅里叶变换 复数序列的 实部 和 虚部 :

由于 $x(n)=a^{n}u(n)$ 序列是实数 ,

其 傅里叶变换

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

一定是共轭对称的 ;

分解 $SFT[x(n)]$ 的实部和虚部 :

$$X(e^{j\omega })=\frac{1-a\cos \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }-j\frac{a\sin \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }$$

共轭对称 的 傅里叶变换 , 实部是 偶对称的 , 虚部是 奇对称 的 ;

傅里叶变换的 模 , 即 傅里叶变换 取绝对值 $|X(e^{j\omega })|$ , 是偶对称的 ;

$$|X(e^{j\omega })|=\frac{1}{(1+a^2-2a\cos \omega {)}^{\frac{1}{2}}}$$

根据如下定理 : $x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

可得 : 傅里叶变换的 实部 $\frac{1-a\cos \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }$ 的 傅里叶反变换 , 对应的是 $x(n)$ 的共轭对称分量 ;

傅里叶变换的 虚部 $-j\frac{a\sin \omega }{1+a^2-2a\cos \omega }$ 的 傅里叶反变换 , 对应的是 $x(n)$ 的共轭反对称分量 ;

在 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 ) 博客中 , 推导了 共轭对称序列 与原序列的关系 , 这里当做一个先决的条件 , 之后需要使用 ;

实因果序列的对称序列与原序列关系 : 先将结果放在这里 , 之后需要使用 ;

$h_e(n)$ 与 $h(n)$ 关系 :

$$h_e(n)=\{\begin{array}{ll}h(0)& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{h(-n)}{2}& n<0\end{array}$$

$h_o(n)$ 与 $h(n)$ 关系 :

$$h_o(n)=\{\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{-h(-n)}{2}& n<0\end{array}$$

下面继续分析上述序列 :

下面的序列 $x_e(n)$ 为实偶 ,

$$x_e(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=0\\ & \\ \frac{a^n}{2}& n>0\\ & \\ \frac{a^{-n}}{2}& n<0\end{array}$$

根据如下定理 :

如果 $x(n)$ 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;

则 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 $X_R(e^{j\omega })$ 也是 实偶 的 ;

下面的序列 $x_o(n)$ 为实奇 ,

$$x_o(n)=\{\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{a^n}{2}& n>0\\ & \\ -\frac{a^{-n}}{2}& n<0\end{array}$$

根据如下定理 :

如果 $x(n)$ 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;

则 $x_o(n)$ 的 傅里叶变换 $j{X}_I(e^{j\omega })$ 也是 虚奇 的 ;

原序列 $x(n)$ 图像如下 :

$x(-n)$ 图像 , 就是将 $x(n)$ 图像 , 以 $y$ 轴为中心进行镜像 :

$x(n)$ 序列的 共轭对称分量 $x_e(n)$ 就是 $x(n)$ 与 $x(-n)$ 相加 , 除以 $2$ :

$$x_e(n)=\frac{x(n)+x(-n)}{2}$$

$x(n)$ 序列的 共轭反对称分量 $x_o(n)$ 就是 $x(n)$ 与 $x(-n)$ 相减 , 除以 $2$ :

$$x_o(n)=\frac{x(n)-x(-n)}{2}$$

$x(n)$ 的模 图像如下 , 是偶对称的 ;

$x(n)$ 的 实部 图像如下 , 是偶对称的 ;

$x(n)$ 的 虚部 图像如下 , 是奇对称的 ;

$x(n)$ 的 相位 图像如下 , 是奇对称的 ;