1. 凸集

线段： 给定向量空间的两点 a 和 b ，集合 [ a , b ] : = { x ∈ X ; x = λ a + ( 1 − λ ) b , 0 ≤ λ ≤ 1 } [a,b]: = \{ x\in X; x= \lambda a + (1-\lambda)b,0\le \lambda \le 1\} [a,b]:={x∈X;x=λa+(1−λ)b,0≤λ≤1} 是以a,b为端点的线段或闭线段。

没错没错，就是闭区间，几乎一毛一样。只不过这个点不再局限于是数轴上的点了，而是可以是任意向量空间的点。

凸集： 向量空间X的子集A若包含a,b 两点，则包含线段 [a,b]，称集合A为凸集。空集和单点集都是凸集，凸集的交集还是凸集。

灵魂画手绘图大概就是这样，只要集合里面有凹下去的地方，就必然有两点的连线不在集合内。如果任意两点的连线都在集合内，那么肯定一点凹都没有，那就是凸集。

凸包： A是X的子集，X中包含A的最小凸子集叫A的凸包 $coA$

凸组合： A中元素的凸组合是指元素 $a_i\in A$ 的有限线性组合 ${\Sigma }_{i\in I}{\lambda }_i{a}_i$ 满足对一切的 $i\in I$ 有 ${\lambda }_i\ge 0,{\sum }_{i\in I}{\lambda }_i=1$
这个凸组合就是系数和为1的有限线性组合咯。

• A的凸包就是由A的元素的所有凸组合构成的X的子集。

2. 凸函数

X 为向量空间，A为X的凸子集，如果函数 $f:A\to \mathbb{R}$ 满足对任意点 $a,b\in A$ 和所有的 $0\le \lambda \le 1$ 均有 $f(\lambda a+(1-\lambda )b)\le \lambda f(a)+(1-\lambda )f(b)$ ，则其为凸函数，如果不取等号，那就是严格凸函数。

推论: 如果f是凸的，有
$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1,f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(a_i)$$

这个其实就是说在任一点处函数的割线(这个点应该在割线两点之间)比函数值要大。比如画个最简单的x的平方的图像和一个割线

所以从图像的直观感觉而言，应该是函数向下凸出的时候是凸函数，如果给它反一下的话

这就是凹函数了。

若函数 $-g:A\to \mathbb{R}$ 是凸的/严格凸的，那么 $g:A\to \mathbb{R}$ 是凹的/严格凹的

• 如果X是实向量空集，线性泛函 $l:X\to \mathbb{R}$ 是凸的，但不是严格凸的。
• 如果 $(X;||\cdot ||)$ 是赋范向量空间，范数 $||\cdot ||;X\to \mathbb{R}$ 是凸函数。 (由三角不等式易得。)