前言

对无人机进行轨迹规划时，需要对可行空间进行数学表示，可行空间通常被表示为凸组合的形式。

结论

在$R^n$中的m个向量$a_1,a_2,a_3,.....,a_m$的凸组合是它们在n维空间的最小凸包（在二维空间中凸组合是一堆点的所形成的最小凸多边形，在三维空间中凸组合是一堆点所形成的最小凸包）。

定义

设向量 { x i } \{x_i\} {xi​}, $i\in 1,2,3,....,n$,存在 { λ i } \{\lambda_i\} {λi​}, $i\in 1,2,3,....,n$, $\sum _1^n{\lambda }_i=1$, 则称$\sum _1^n{\lambda }_i{x}_i$称为 { x i } \{x_i\} {xi​}的凸组合。

代码实现

搜到的回头自己写

在这里插入代码片

凸组合的几何含义

在这里说明凸组合在一维，二维，三维下的凸组合的几何含义（路径规划只用到这三个），更高维的可以类推

1. 直线上的情况

在直线上设有坐标为a，b的两点的凸组合x，则
$$x=\lambda a+(1-\lambda )b,0<\lambda <1$$
$$\lambda =\frac{b-x}{b-a}$$
也就是说$0<\frac{b-x}{b-a}<1$, x是在a和b之间的点，如图

2. 两个向量的凸组合

设 $R^2$中的向量a(a_1,a_2), b(b_1,b_2) 的凸组合为x(x_1,x_2) ， 则
$$x=\lambda a+(1-\lambda )b$$
$$\Downarrow$$
$$x_1=\lambda a_1+(1-\lambda )b_1$$
$$x_2=\lambda a_2+(1-\lambda )b_2$$
这表示x 在连结 a,b两点的线段上，$R^3$ 中的情况也是一样

3. 三个向量的凸组合

还是在$R^2$中考虑三个点$a(a_1,a_2),b(b_1,b_2),c(c_1,c_2)$,的凸组合x(x_1,x_2,x_3),则
$$x={\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b+{\lambda }_{3}c,{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1,{\lambda }_1+{\lambda }_2\ne 0$$
$$\Downarrow$$
$$x=({\lambda }_1+{\lambda }_2)(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}a+\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}b)+{\lambda }_{3}c$$

令
$$d=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}a+\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}b$$
d是a和b的凸组合，d在a和b的连线上，$x=({\lambda }_1+{\lambda }_2)d+{\lambda }_{3}c$, x是d和c的凸组合，x在d和c的连线上，如图：

点数4个以上的情况也是同样的， { a 1 , a 2 , a 3 , . . . . . . , a n } \{a_1,a_2,a_3,......,a_n\} {a1​,a2​,a3​,......,an​}中n个点的凸组合全体形成一个凸多边形，这个凸多边形的顶点或者是a的全部

对于三维情况同理。

参考

百度百科 凸组合