4.1 凸集 convex sets
仿射集（Affine Sets）：如果一个集合 C ∈ R n C\in\mathbb{R}^n C∈Rn 是仿射的，则在C中两点的直线也在C中，若 x 1 ∈ C , x 2 ∈ C , 则 x = θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C , θ ∈ R x_1\in C,x_2\in C,则x=\theta x_1+(1-\theta)x_2\ \in C,\theta \in R x1∈C,x2∈C,则x=θx1+(1−θ)x2 ∈C,θ∈R ，例如Ax=b的解集就是一个仿射集。
凸集：如果集合 C ∈ R n C\in\mathbb{R}^n C∈Rn 是凸集，如果C中两点间的线段也在C中，即 x = θ x 1 + ( 1 − θ ) x 2 ∈ C , θ ∈ [ 0 , 1 ] x=\theta x_1+(1-\theta)x_2\ \in C,\theta \in [0,1] x=θx1+(1−θ)x2 ∈C,θ∈[0,1] 。注意 θ \theta θ 取值范围的不同。
常见的凸集：
-
所有 R n \mathbb{R}^n Rn
-
所有 R + n \mathbb{R}_+^n R+n
-
超平面（Hyperplane）： C = { x ∣ a T x = b } C=\{x|a^Tx=b\} C={x∣aTx=b} 既是仿射集又是凸集
-
半空间（Halfspace） C = { x ∣ a T x ≥ b } 或 C = { x ∣ a T x ≤ b } C=\{x|a^Tx\ge b\}或C=\{x|a^Tx\le b\} C={x∣aTx≥b}或C={x∣aTx≤b} 只是凸集
-
范数球：满足 ∥ x ∥ p ≤ 1 , p ≥ 1 \|x\|_p \le 1,\quad p\ge1 ∥x∥p≤1,p≥1的集合称为范数球。（依据范数的三角不等式可证）
但是 ∥ x ∥ p = 1 , p ≥ 1 \|x\|_p = 1,\quad p\ge1 ∥x∥p=1,p≥1 不是凸集。当 0 < p < 1 0<p<1 0<p<1 时， ∥ x ∥ p ≤ 1 \|x\|_p \le 1 ∥x∥p≤1 也不是凸集。
-
多面体（polyhedron）：有限个半空间和超平面的交集。（凸集的交集是凸集）
P = { x ∣ A x ≤ b , C x = d } , A ∈ R m × n , b ∈ R m , C ∈ R p ∗ n , d ∈ R p P=\{x|Ax\le b, Cx=d\},A\in R^{m\times n},b\in R^m, C \in R^{p*n}, d \in R^p P={x∣Ax≤b,Cx=d},A∈Rm×n,b∈Rm,C∈Rp∗n,d∈Rp , 由于A，C都是矩阵，因此对应了有限个半空间和超平面。
凸集的性质：
凸集的交集是凸集。
凸集的并集不一定是凸集。
4.2 凸函数
一个函数 f : R n → R f:R^n \to R f:Rn→R 被称为凸函数，如果：
- f的定义域 d o m ( f ) dom(f) dom(f) 是凸集
- 对于任何 x , y ∈ d o m ( f ) , 0 ≤ θ ≤ 1 , 有 f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ θ f ( x ) + ( 1 − θ ) f ( y ) x,y \in dom(f), 0\le \theta \le 1, 有f(\theta x+(1-\theta)y)\le \theta f(x)+(1-\theta)f(y) x,y∈dom(f),0≤θ≤1,有f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)
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几何解释：函数值小于连接函数值的线段的值。
凸函数的充要条件
一阶充要条件：$f(x_1)\ge f(x)+\nabla^Tf(x)(x_1-x) $ 对于所有 x 1 , x x_1,x x1,x 均成立。
二阶充要条件：如果函数f二阶可导，则凸函数的充要条件为： H ( x ) ⪰ 0 H(x) \succeq 0 H(x)⪰0 即Hessian矩阵半正定。（如果是正定的，则是严格凸函数。半负定，则是凹函数）
在实际使用中，使用二阶充要条件比较好用。
证明：凸函数的局部最优解就是全局最优解。
假定 x ∗ x^* x∗ 是局部最优解，则在 x ∗ x^* x∗ 的邻域内的点z有 f ( x ∗ ) ≤ f ( z ) f(x^*) \le f(z) f(x∗)≤f(z) 。假设y点为可行域内的任意一点，则 z = ( 1 − t ) x ∗ + t ) y , t ∈ [ 0 , 1 ] z=(1-t)x^*+t)y,\quad t\in [0,1] z=(1−t)x∗+t)y,t∈[0,1] ,通过调整t的值，可以使得z保持在 x ∗ x^* x∗ 的邻域内。根据凸函数定义：
f ( x ∗ ) ≤ f ( z ) = f ( t x ∗ + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ∗ ) + ( 1 − t ) f ( y ) f(x^*)\le f(z)=f(tx^*+(1-t)y)\le tf(x^*)+(1-t)f(y) f(x∗)≤f(z)=f(tx∗+(1−t)y)≤tf(x∗)+(1−t)f(y)
化简上面的不等式有： f ( x ∗ ) ≤ f ( y ) f(x^*) \le f(y) f(x∗)≤f(y)
由于y为任意一点，因此 x ∗ x^* x∗ 也是全局最优解。
常见凸函数
- ax+b: 既是凸函数，也是凹函数
- x 2 x^2 x2 凸函数
- e α x e^{\alpha x} eαx 凸函数
- -log(x) 凸函数，x>0
- − x l o g x ， x ≥ 0 -xlogx，x\ge 0 −xlogx，x≥0 凸函数
- f ( x ) = a T x + b f(x)=a^Tx+b f(x)=aTx+b 凸函数、凹函数
- f ( x ) = x T P x + 2 q T x = r , 当 且 仅 当 P ⪰ 0 时 是 凸 函 数 f(x)=x^TPx+2q^Tx=r, 当且仅当P \succeq 0时是凸函数 f(x)=xTPx+2qTx=r,当且仅当P⪰0时是凸函数， 特别地 f ( x ) = x T x f(x)=x^Tx f(x)=xTx 是凸函数（2范数是凸函数）
凸函数的性质
-
f(x)是凸函数，则f(Ax+b)也是凸函数。例如 ∥ y − A x ∥ 2 \|y-Ax\|_2 ∥y−Ax∥2
-
如果g(x)，h(x)是凸函数，h函数是非递减函数，则 f ( x ) = h ( g ( x ) ) f(x)=h(g(x)) f(x)=h(g(x)) 是凸函数。例如： g ( x ) = ∥ y − A x ∥ 2 , h ( x ) = x 2 在 x ≥ 0 上 非 递 减 g(x)=\|y-Ax\|_2,h(x)=x^2\quad在x\ge 0上非递减 g(x)=∥y−Ax∥2,h(x)=x2在x≥0上非递减, 则 f ( x ) = ∥ y − A x ∥ 2 2 f(x)=\|y-Ax\|^2_2 f(x)=∥y−Ax∥22 是凸函数。
-
f 1 , . . . , f m f_1,...,f_m f1,...,fm 是凸函数， w 1 , . . . , w m ≥ 0 w_1,...,w_m\ge 0 w1,...,wm≥0 ，则$\sum_{i=1}^{m}w_if_i $ 是凸函数，例如：
f ( x ) = ∥ y − A x ∥ 2 2 + λ ∥ x ∥ 2 2 f(x)=\|y-Ax\|^2_2+\lambda \|x\|^2_2 f(x)=∥y−Ax∥22+λ∥x∥22 是凸函数。（L2正则化项）
-
逐点最大： f 1 , . . . , f m f_1,...,f_m f1,...,fm 是凸函数，则 f ( x ) = m a x { f 1 ( x ) , . . . , f m ( x ) } f(x)=max\{f_1(x),...,f_m(x)\} f(x)=max{f1(x),...,fm(x)} 是凸函数。例如， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 对于每个 y ∈ A y \in A y∈A 都是凸函数，则 s u p y ∈ A f ( x , y ) sup_{y\in A}f(x,y) supy∈Af(x,y) 是凸函数（f(x,y)的上确界，可以类比最大值）。
凸函数和凸集的关系
α \alpha α 水平集或下水平集
一元函数f的 α \alpha α 水平集为： S α = { x ∣ f ( x ) ≤ α } S_{\alpha}=\{x|f(x)\le \alpha\} Sα={x∣f(x)≤α}
如果f为凸函数，则 对每个 α {\alpha} α ， S α S_{\alpha} Sα都是凸集。反之则不成立。
4.3 凸优化问题
对于一般优化问题：
m i n i m i z e f 0 ( x ) s u b j e c t t o f i ( x ) ≤ 0 f o r i = 1 , 2 , . . . , m h i ( x ) = 0 f o r i = 1 , 2 , . . . , p \begin{array}{l}minimize & f_0(x)\\subject to & f_i(x)\le 0 \quad for i=1,2,...,m\\&h_i(x)=0 \quad for i=1,2,...,p\end{array} minimizesubjecttof0(x)fi(x)≤0fori=1,2,...,mhi(x)=0fori=1,2,...,p
如果 f 0 ( x ) f_0(x) f0(x) 是凸函数，且可行域是凸集，则上述优化问题是凸优化问题。因此，凸优化问题是在凸集上极小化一个凸的目标函数。
凸优化问题要求（可行域是凸集）：
- 不等式约束函数必须是凸的。（若 f i ( x ) f_i(x) fi(x) 是凸函数，则不等式约束为下水平集，是凸集。）
- 等式约束函数必须是仿射的。
凸优化问题的最优值写为： p ∗ = m i n { f 0 ( x ) : f i ( x ) ≤ 0 , h i ( x ) = 0 } p^*=min\{f_0(x):f_i(x) \le 0,h_i(x)=0\} p∗=min{f0(x):fi(x)≤0,hi(x)=0} ，可能的取值为：
- p ∗ = + ∞ p^*=+\infty p∗=+∞ 不可行（可行域为空集）
- p ∗ = − ∞ p^*=-\infty p∗=−∞ 称为unbounded below (存在可行点使得 f 0 ( x ) → ∞ f_0(x) \to \infty f0(x)→∞ )
- f 0 ( x ∗ ) = p ∗ f_0(x^*)=p^* f0(x∗)=p∗
凸优化问题的重要结论
凸优化问题局部最优就是全局最优
局部最优点x指：存在 R > 0 R>0 R>0 ，对于所有可行点z，且有 ∥ x − z ∥ 2 ≤ R \|x-z\|_2 \le R ∥x−z∥2≤R ，满足 f 0 ( x ) ≤ f 0 ( z ) f_0(x) \le f_0(z) f0(x)≤f0(z)
全局最优点x指，对于所有可行点，满足 f 0 ( x ) ≤ f 0 ( z ) f_0(x) \le f_0(z) f0(x)≤f0(z)
反证法证明：
x ∗ x^* x∗ 是凸优化问题的局部最优点，假设存在一点 x ′ x' x′ 使得 f 0 ( x ∗ ) > f 0 ( x ′ ) f_0(x^*) \gt f_0(x') f0(x∗)>f0(x′) ，则由于 f 0 f_0 f0 是凸函数：
f 0 ( t x ∗ + ( 1 − t ) x ′ ) ≤ t f ( x ∗ ) + ( 1 − t ) f ( x ′ ) f_0(tx^*+(1-t)x')\le tf(x^*)+(1-t)f(x') f0(tx∗+(1−t)x′)≤tf(x∗)+(1−t)f(x′)
当(1-t)很小时， ∥ x − ( t x ∗ + ( 1 − t ) x ′ ) ∥ 2 ≤ R \|x-(tx^*+(1-t)x')\|_2\le R ∥x−(tx∗+(1−t)x′)∥2≤R ，则$f_0(x^)\le f_0(tx^+(1-t)x’) $
可以得到 f 0 ( x ∗ ) ≤ f 0 ( x ′ ) f_0(x^*)\le f_0(x') f0(x∗)≤f0(x′) ，这与假设条件相违背，因此，不存在一点 x ′ x' x′ 使得 f 0 ( x ∗ ) > f 0 ( x ′ ) f_0(x^*) \gt f_0(x') f0(x∗)>f0(x′)，即 x ∗ x^* x∗ 是全局最优点。
典型凸优化问题
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实例
形式转换成凸优化问题
将本质是凸优化问题的问题，从形式上转换为凸优化问题。
对于以下问题，通过定义矩阵和向量的方式，转换为标准的凸优化问题，便于利用软件包进行求解。
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