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第六章 布谷鸟搜索[1]

6.1 介绍

布谷鸟（杜鹃）是一种非常迷人的鸟类，它们不仅能发出各种声音或叫声，还能以不同的方式繁殖。杜鹃科中的犀鹃（Ani Cuckoo）和圭拉鹃（Guira Cuckoo），将它们的蛋放在其他鸟的巢中，从此杜鹃鸟的蛋完全依赖于寄主鸟的照料，这就是巢寄生。

如果寄主鸟发现蛋不是它们的，要么把蛋扔掉，要么放弃巢穴，然后寄主鸟再建一个新的巢穴。为了防止这种情况的发生，雌性布谷鸟已经进化到可以模拟寄主蛋的颜色和纹理，从而降低被遗弃的可能性。同时蛋也会分布在不同的巢中，以减少蛋丢失的机会。如果布谷鸟的蛋没有被识别出来，它通常会在寄主鸟蛋之前孵化，并把其他的蛋从巢中踢出去，这样就能分得更多的食物，甚至有些布谷鸟雏鸟也能模仿寄主雏鸟的叫声。

巢寄生的一个好处是，父母不需要投资筑巢或喂养幼鸟。他们可以花更多的时间在捕食和繁殖上。随着时间的推移，自然选择使寄主鸟和布谷鸟都进化了，使得每一代中最适合的鸟存活下来。布谷鸟的这种繁殖行为是协同进化的最佳模型之一，也是最近发展的优化技术，即布谷鸟搜索的基础。

6.2 人工布谷鸟搜索

布谷鸟搜索受布谷鸟的巢寄生行为和一些鸟类和果蝇的莱维（Lévy Flight）行为的启发，是由Xin-She Yang和Suash Deb (2009)[2]提出的一种新型的基于群体的优化技术。

布谷鸟算法源于以下三条规则[3]：

• 每只布谷鸟每次产下一枚蛋，并将其放入随机选择的巢中；
• 具有优质蛋的最佳巢会被进入到下一代；
• 可用的寄主巢数量是固定的，且寄主以概率pa∈(0,1)发现布谷鸟放的蛋。在这种情况下，寄主可以消灭该蛋或放弃旧巢另建新巢。

在进一步研究算法之前，先讨论一些数学术语和函数。

6.2.1 随机变量

任何随机现象的输出都是随机变量，并用X表示。如果一个随机变量只取不同的值，比如1,2，那么它就是离散的；如果它可以在一个区间内取任意值，那它就是连续的。这些通常用曲线下的面积或积分表示。随机变量X在一组结果A上的概率，就是A上和曲线下之间的面积，这条曲线下的总面积必须是1，对于集合A中的任何元素都不应该有负值。这样的曲线称为密度曲线。

6.2.2 随机游走

随机游走（记为SN）是一系列随机步的和，每一步都由一个随机变量Xi表达：
$$N=\sum _{\mathrm{i}=1}^N{X}_{\mathrm{i}}=X_1+\dots \dots \dots +X_N\text{\hspace{1em}(1)}$$

随机游走的长度可以是固定的，也可以是可变的(取决于步长)。

6.2.2.1 幂律

当一个量相对变化时会导致两一个量成比例的相对变化时，需要应用幂律（比例律），幂律分布的一般形式是：
$$Y=k{X}^{\alpha }\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中X和Y是目标变量，α是律指数，k为常量。

6.2.3 赫维赛德函数（阶跃函数）

通常用H或θ表示，用于表达分段常数函数或广义函数。

作为分段函数时：
$$\begin{array}{l}H(x)=0\mathrm{i}\mathrm{f}x<0\\ =\frac{1}{2}\mathrm{i}\mathrm{f}x=0\\ =1\mathrm{i}\mathrm{f}x>0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

作为广义函数：
$$\int \theta (x){\varphi }^{\prime }(x)dx=-\varphi (0)\text{\hspace{1em}(4)}$$

简化表示为：
$$H_c(x)\equiv (x-c)\text{\hspace{1em}(5)}$$

6.2.4 Lévy（莱维）分布

Lévy分布是非负随机变量的稳定连续概率分布，可以用以下简单的方式表达：

$$\begin{array}{l}L(s,\gamma ,\mu )=\sqrt{\frac{\gamma }{2\Pi }}\exp \left[-\frac{\gamma }{2(s-\mu )}\right]\frac{1}{{(s-\mu )}^{3/2}},0<\mu <s<\infty \\ =0,\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中µ是最小步长，γ是尺度参数。

6.2.4.1 Lévy飞行

Lévy飞行是步长服从Lévy分布的随机游走，通过下式表达：

$$L(s)|s{|}^{-1-\beta }0<\beta \le 2\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中β是一个索引。

以下为布谷鸟搜索的伪代码和算法流程图。

Begin目标函数f(I)，I=(i1,i2,…,id)T生成初始种群for n个寄主巢穴：Ij(j=1,2,…,n)while(t<MaxGeneration)||(停止准则)根据Lévy飞行随机选择布谷鸟计算适应度值Fj在n中随机选择巢穴（假设为k）if(Fj>Fk)使用新解替换kend抛弃一小部分（pα）更糟糕的巢穴并建立新巢保留最优解（或优质解的巢穴）对解进行排序并考虑最优解end while
后处理结果和可视化
end

图1 布谷鸟搜索算法流程图

6.2.5 布谷鸟搜索的优点

布谷鸟搜索(CS)有很多优势：

• 布谷鸟搜索在搜索空间探索时，在局部搜索和多样性或随机性之间保持了有效的平衡；
• 布谷鸟只包含两个控制参数：种群大小n和概率pα，使得算法更简单更通用；
• 如果种群大小固定，则仅通过来pα控制精英（将最优解带到下一代以构造新的解）、随机均衡和局部搜索；
• 布谷鸟搜索具有高效的随机化，并有大步长的可能性；
• 收敛率p_α与无关，因此对于每一个 新的问题，不需要调整参数；
• 因其通用性可以应用于各种优化问题；
• 在多峰函数上，它的求解优于PSO和GA。

6.3 布谷鸟搜索的数学证明

如前所述，布谷鸟搜索通过Lévy飞行进行全局搜索或探索，飞行中步长可变并且进行突然90°的转弯，偶尔的大步长可以保证搜索不回陷入到局部最优。

该算法执行两种类型的搜索：局部搜索和全局搜索。

局部搜素通过局部随机游走执行：

$$x_i^{(t+1)}=x_i^{(t)}+\alpha s\otimes H\left(p_a-\epsilon \right)\otimes \left(x_j^{(t)}-x_k^{(t)}\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中x_j和x_k为随机选择的解，H(µ)为赫维赛德函数，p_α是用于平衡局部和全局随机游走的切换参数，s为步长，ε为均匀分布的随机数。

全局搜索通过Lévy飞行执行：
$$x_i^{(t+1)}=x_i^{(t)}+\alpha L(s,\lambda )\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中α>0为步长缩放因子，且
$$L(s,\lambda )=\frac{\lambda \Gamma (\lambda )\sin (\pi \lambda /2)}{\pi }\frac{1}{s^{1+\lambda }}\left(s>>s_o>0;s_{\mathrm{o}}为最小步长\right)\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 $$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$$

Lévy飞行是步长服从Lévy分布的随机游走：

$$\mathrm{L}{\mathrm{e}}^{\prime }\mathrm{v}\mathrm{y}-\frac{1}{s^{\lambda +1}}0\le \lambda \le 2\text{\hspace{1em}(11)}$$

通过Lévy飞行生成的随机数由通过正太分布创建的随机方向选择组成，步长使用Mantegna算法生成：

$$\mathrm{s}=\frac{u}{|v{|}^{1/\beta }}\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中µ和ν服从正太分布：
$$\mu \sim N\left(0,{\sigma }_{\mu }^2\right)和\nu \sim N\left(0,{\sigma }_{\nu }^2\right)\text{\hspace{1em}(13)}$$
$${\sigma }_{\mathrm{u}}={\left\{\frac{\Gamma (1+\beta )\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}{\Gamma \left[\frac{1+\beta }{2}\right]\beta 2^{(\beta +1)/2}}\right\}}^{1/\beta }\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{\sigma }_v=1\text{\hspace{1em}(14)}$$

设r∈[0,1]，与发现/切换概率p_α相比得到全局分支：
$$\begin{array}{l}{x}_i^{(t+1)}\leftarrow x_i^{(t)}\mathrm{i}\mathrm{f}r<p_{\alpha }\\ x_i^{(t+1)}\leftarrow x_i^{(t)}+\alpha \otimes L(s,\lambda )\mathrm{i}\mathrm{f}r>p_{\alpha }\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$

因为CS算法是一个随机搜索算法，我们可以总结为以下主要步骤：

1. 初始种群由n个随机位置的巢构成，X={x10,x20,…,xn0}，然后评估它们的目标函数值，以找到当前的全局最佳gt0；

2. 由下式更新解：
   $$x_i^{(t+1)}=x_i^{(t)}+\alpha \otimes L(\lambda )\text{\hspace{1em}(16)}$$

3. 从均匀分布[0,1]中取随机数r。如果r>p_α，则更新x_i^(t+1)。然后评估新解，找到新的全局最佳g_t∗；

4. 如果满足停止要求，则g_t∗是目前为止发现的最好的全局解。否则，返回步骤2。

6.4 布谷鸟搜索的变种

6.4.1 离散布谷鸟搜索

离散布谷鸟旨在解决像旅行商（TSP）、调度这样的组合问题。组合问题中组合的数量随着问题的规模呈指数增长，解决这样的问题需要大量的计算。

Ouaarab，Ahiod和Yang（2014）[4]针对TSP提出了布谷鸟搜索的离散版本，Ouyang等（2013）[5]提出了求解环形TSP的离散布谷鸟搜索。

6.4.2 改进的布谷鸟搜索

提出的改进将布谷鸟作为控制集中和分散的第一层，种群是第二个控制层。增加了一种新型的更聪明的布谷鸟用于种群重组，这些新的布谷鸟能够改变它们的寄主巢穴以降低被遗弃的机会，这样就有了新的一小部分布谷鸟p_c，其首先通过Levy飞行搜索寄主巢穴（新解），然后从当前解寻找更优的解。

以下为改进布谷鸟搜索的伪代码：

Begin
目标函数f(I),I=(i1,i2,…,id)T
生成初始种群for (n)个巢穴：Ij(j=1,2,…,n)
while(t<MaxGeneration) || (停止准则)使用一小部分智能布谷鸟(pc)进行搜索使用Levy飞行随机选择一只布谷鸟计算其适应度Fj从hn中随机选择一个巢穴，例如kif(Fj>Fk)使用新解替换kend if遗弃一小部分（Pa）糟糕的解，构建新的解记录最优解
end while
结果后处理及可视化

作者在算法中使用了扰动，使用局部扰动使得算法足够灵活，可以适应其他优化问题。

6.4.3 二进制布谷鸟搜索

优化问题可以是连续的，其中解可以用一组实数表示，也可以是离散的，可以用一组整数表示。然而，在二进制优化中，解是由一组位表示的。二进制版本的布谷鸟搜索(BCS)可应用于路由、调度、特征选择等问题。

在使用Levy飞行的原始CS算法中，解表示为连续搜索空间中的实数集合，这些都需要转换成二进制值，以适应离散二进制版本的布谷鸟搜索。BCS有两个主要方面(Pereira等,2014)[6]：

• 二进制布谷鸟动态，包括

1. 使用Levy飞行获得新解；

2. 二进制解的表达（BSR）以寻找每只布谷鸟移动的可能性。

• 目标函数和选择算子—其原理与遗传算法相同

设xi为[0,1]上具有连续值的解，xi’为二进制表达的解，使用sigmoid函数对值进行转换：
$$\mathrm{S}\left(x_i\right)=\frac{1}{1+e^{-x_i}}\text{\hspace{1em}(17)}$$

其中S(x_i)代表x_i’的变动机会。

为了确定二进制解x_i’，S(x_i)在解x的每一维i上与生成的随机数γ比较，如果变动机会大于γ，二进制值为1，否则为0：

$$f(n)=\leftarrow \{\begin{array}{ll}1,& \text{if γ < S(xi)}\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$

6.4.4 混沌布谷鸟搜索（Chaotic Cuckoo Search，CCS）

在CCS中将混沌理论融入到了布谷鸟搜索技术中，混沌理论研究高度敏感系统的行为，其中初始位置的微小变化会对系统的行为产生很大的影响，混沌具有非重复和遍历性的特点，便于快速搜索。同时也引入了遗传算法中的精英概念，将最优布谷鸟代入下一代，以构建新的更优解。Wang等(2016)[7]提出的CCS使用一个混沌可变步长α，可通过归一化的混沌地图（展示混沌行为）进行调整，归一化混沌地图后，其总是在[0,2]内变化。精英可以防止最优布谷鸟随着解的更新变差。

以下是混沌布谷鸟搜索的伪代码：

Begin：
Step 1：初始化。设置代计数器i=1，随机初始化种群P，随机设置pa和混沌地图的初始值c0，以及精英参数KEEP。
Step 2：While t<MaxGeneration根据适应度值对种群进行排序KEEP←最优布谷鸟使用混沌地图更新步长（α=ci+1）随机选择一个布谷鸟（假如i），通过执行Levy飞行替换该解计算其适应度值Fi在n中随机选择一个巢穴（假如k）if（Fi<Fk）使用新解替换kend if使用新解替换一小部分（pa）糟糕解使用KEEP个最优布谷鸟替换KEEP个最劣布谷鸟对种群进行排序以确定当前最优t=t+1end while
end

6.4.5 并行布谷鸟搜索

并行化是受自然界启发基于种群算法的自然拓展，Tzy-Luen等（2016）[8]提出了并行布谷鸟搜索。该算法将主种群分解成子种群，从而在搜索解空间时增加了多样性。

并行布谷鸟搜索的伪代码：

Begin
目标函数f(n)，n=(n1,…,nd)T
生成n个巢穴的初始主种群np
将种群分解成子种群，每个子种群1…p在相同的搜索空间中并行执行布谷鸟搜索
while(i<停止准则)子种群1…p并行地通过Levy飞行随机选择一只布谷鸟i计算其适应度值Fi从p中随机选择一个巢穴（假如s）if(Fi>Fs)使用新解替换send丢弃一小部分（pa）劣质巢穴，并建立新的巢穴保留最优解对解进行排序，找到最优解每n代同步最优巢穴
end while
end

6.4.6 高斯布谷鸟搜索

基础的布谷鸟搜索虽然可以有效地找到最优解，但是不能保证快速地收敛和精度，为了解决这个问题，Zheng和Zhou（2012）[9]对原始算法引入了一些改进：
$${\sigma }_{\mathrm{s}}={\sigma }_{\mathrm{o}}\exp (-\mu \mathrm{k})\text{\hspace{1em}(19)}$$

其中σ₀和µ为常数，k为当前代数。

因此新解通过下式得到：

$$x_i^{(t+1)}=x_i^{(t)}+\alpha \otimes {\sigma }_{\mathrm{s}}\text{\hspace{1em}(20)}$$

其中α是与问题规模相关的步长，大多数情况下取1，基于高斯分布的布谷鸟搜索的伪代码如下：

Begin
目标函数f(n)，n=(n1,…,nd)T
生成h个巢穴的初始种群ni
while(t<MaxGeneration 或 停止准则)根据高斯分布随机选择一只布谷鸟计算其适应度值Fi从h中随机选择一个巢穴（假如k）if(Fi>Fk)使用新解替换kend丢弃一小部分（pa）劣质巢穴，并建立新的巢穴保留最优解对解进行排序，找到最优解
end while
end

参考文献

1. Nayyar, A., D.-N. Le, and N. Nhu, Advances in Swarm Intelligence for Optimizing Problems in Computer Science. 2018, New York: Chapman and Hall/CRC.
2. Yang, X. and D. Suash. Cuckoo Search via Lévy flights. in 2009 World Congress on Nature & Biologically Inspired Computing (NaBIC). 2009.
3. Yang, X.-S., Cuckoo Search and Firefly Algorithm: Theory and Applications. Vol. 516. 2014.
4. Ouaarab, A., B. Ahiod, and X.-S. Yang, Discrete cuckoo search algorithm for the travelling salesman problem. Neural Computing and Applications, 2014. 24(7): p. 1659-1669.
5. Ouyang, X., et al., A Novel Discrete Cuckoo Search Algorithm for Spherical Traveling Salesman Problem. Applied Mathematics & Information Sciences, 2013. 7(2): p. 777-784.
6. Pereira, L., et al., A Binary Cuckoo Search and Its Application for Feature Selection. 2014. p. 141-154.
7. Wang, G.-G., et al., Chaotic cuckoo search. Soft Computing, 2016. 20(9): p. 3349-3362.
8. Tzy-Luen, N., Y.T. Keat, and R. Abdullah. Parallel Cuckoo Search algorithm on OpenMP for traveling salesman problem. in 2016 3rd International Conference on Computer and Information Sciences (ICCOINS). 2016.
9. Zheng, H. and Y.-Q. Zhou, A novel Cuckoo Search optimization algorithm base on gauss distribution. Journal of Computational Information Systems, 2012. 8: p. 4193-4200.