| 与圆有关的位置关系 |
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主讲：黄冈中学高级教师 余国琴
知识强化
一、知识概述
1、点和圆的位置关系
如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．
(1)d＞r
点在圆外；
(2)d=r
点在圆上；
(3)d＜r
点在圆内．
2、确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
3、三角形的外接圆
（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
注意：①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内．
②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．
(2)三角形外心的性质：
①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．
4、反证法
(1)定义：从命题结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾，从而证明命题成立，这种方法叫做反证法．
(2)反证法证明命题的一般步骤
①反设：作出与结论相反的假设；
②归谬：由假设出发，利用学过的公理、定理推出矛盾；
③作结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
5、直线和圆的位置关系的定义及有关概念
(1)直线与圆的位置关系有关概念
①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．
③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
(1)直线l和⊙O相交
d＜r(如图(1)所示)；
(2)直线l和⊙O相切
d=r(如图(2)所示)；
(3)直线l和⊙O相离
d＞r(如图(3)所示)．
6、切线
(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
7、三角形的内切圆与三角形的内心
①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．
8、圆和圆的位置关系
(1)图示定义法(交点数)
①相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；
②相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；
③相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示．
注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：
(Ⅰ)没有公共点：
(Ⅱ)有惟一公共点：
(Ⅲ)有两个公共点：相交
(2)用数量关系判断两圆的位置关系
当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关，设两圆半径分别为R和r(R＞r)，圆心距为d，则：
(1)两圆外离
d＞R＋r；
(2)两圆外切
d=R＋r；
(3)两圆相交
R－r＜d＜R＋r；
(4)两圆内切
d=R－r；
(5)两圆内含
d＜R－r．
二、重难点知识归纳
与圆有关的位置关系的判断是重点，切线的判定和性质是重点也是难点．
三、典型例题剖析
例1、如图，已知矩形ABCD中，AB=3cm
AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，求⊙A的半径r的取值范围．
解：
∵矩形ABCD中，∠B=90°，AB=3cm，BC=AD=4cm，
∴AC=5cm，
其中点B到点A的距离最小，点C到点A的距离最大．若以AB为半径作圆，则没有点在⊙A内；若以AC为半径作圆，则没有点在⊙A外．
故⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm．
点拨：
这里是由点与圆的位置确定半径r的大小．本例还要注意“至少”一词的理解．
例2、阅读下列文字：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC．
证明：假设AC=BC．
∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B．
∴AC≠BC，这与题设矛盾，∴AC≠BC．
上面的证明有没有错误，若没有错误，指出其证明方法是什么？若有错误，请给予指正．
解：有错误．改正如下：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾．∴AC=BC不成立．
∴AC≠BC．
点拨：
运用反证法证题应从“假设”出发，即把假设当作已知条件，一步步有根据地推出与定义、定理、公理或已知矛盾的结论，从而判定“假设”不成立，进一步肯定命题的结论．
例3、如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
解：以AB为直径的圆与CD是相切关系．理由如下：
如图，过E作EF⊥CD，垂足为F．
∵∠A=∠B=90°，∴EA⊥AD，EB⊥BC.
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴
．
∴以AB为直径的圆的圆心为E，且
，
∴以AB为直径的圆与边CD相切．
点拨：
在证明直线与圆的位置关系时，常过圆心向直线作垂线段，再比较垂线段与半径的大小即可．
例4、已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD(如图)．
求证：DC是⊙O的切线．
证明：连结OD．
．
．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°．
∴∠ODC=90°．∴OD⊥DC.
∴DC是⊙O的切线．
点拨：
已知点B是切点，连结OB得OB⊥BC，要证CD是切线，也要连结OD，证OD⊥CD，再沟通已知与未知的联系即可．
例5、如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，DO、AE相交于点F，CO、BE相交于点G．求证：(1)CO⊥DO；(2)四边形EFOG是矩形．
分析：
(1)欲证CO⊥DO，只需证明∠ODC＋∠OCD=90°．根据切线长定理，
得
．
再由切线的性质定理，不难得AD∥BC，从而∠ADC＋∠BCD=180°，(1)获证．
(2)仍由切线长定理，可证AE⊥DO，BE⊥CO．而∠AEB=90°，(2)获证．
证明：
(1) ∵AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB．∴AD∥BC．
∴∠ADC＋∠BCD=180°．
又由切线长定理，得
．
∴∠ODC＋∠OCD=90°，即∠DOC=90°．故CO⊥DO．
(2)∵DA、DE与⊙O相切于点A、E，
∴DA=DE．∴AE⊥DO．∴∠EFO=90°．
同理，∠EGO=90°．又∠DOC=90°，
∴四边形EFOG是矩形．
点评：
在有关圆的问题，切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．
例6、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R，r，且R≥r，r是方程x2－6x＋3=0的两根．设O1O2=d，那么：
①若d=7，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；
②若
，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；
③若d=5，试判定⊙O1与⊙O2的位置关系；
④若两圆相切，求d的值．
解：
∵R、r是方程x2－6x＋3=0的两根，
∴R＋r=6，R·r=3．
∴
．
(1)∵d=7，即d＞R＋r，∴两圆外离．
(2)∵
，即d＜R－r，∴两圆内含．
(3)∵d=5，即R－r＜d＜R＋r，∴两圆相交．
(4)要使⊙O1与⊙O2相切，则d=R＋r或d=R－r，
∴d=6或
时，两圆相切．
点拨：
由两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系知，应先分别求出R＋r、R－r，然后再比较d与R＋r、R－r的大小从而作出判断．
例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2点在⊙O1上．
(1)如图（1），AD是⊙O2的直径，连结DB，并延长交⊙O1于C．求证：CO2⊥AD．
(2)如图（2），如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在的直线是否与AD垂直？证明你的结论．
证明：
(1)连结AB，则有∠AO2C=∠ABC=180°－∠ABD=90°，∴CO2⊥AD．
(2)作直径AD1交⊙O2于D1，连结D1B并延长交⊙O1于C1．
由第(1)问知：∠AO2C1=90°，∴∠AD1B＋∠BC1O2=90°．
在⊙O2中，∠AD1B=∠ADB；在⊙O1中，∠BC1O2=∠BCO2．
∴∠ADB＋∠BCO2=90°．∴CE⊥AD．
点拨：
解决此类问题，关键是要找出一般与特殊的关系，在图形变换中，要找出不变量．
