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1 原理

根据我们小学二年级就学过的三点定圆定理：

$$不共线的三个点可唯一确定一个圆$$

且，不共线的三点相互连接必然构成一个三角形，这个三角形称为圆的内接三角形，这个圆称为三角形的外接圆。三角形三边垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心。

有了以上知识，由不共线的三个点确定一个圆就非常easy了

已知平面中不共线的三点 $A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$C(x_3,y_3,z_3)$，互相连接构成三角形 ΔABC，$L_{ab}$，$L_{bc}$，$L_{ac}$ 分别为三条边的垂直平分线，且相交于一点 $O$，该交点即为外接圆圆心。

三角形三边斜率：

$$\{\begin{array}{l}{k}_{ab}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ k_{bc}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}\\ k_{ac}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\end{array}$$
三边中点:
$$P_{ab}(\frac{x_1+x_2}{2}，\frac{y_1+y_2}{2}),P_{bc}(\frac{x_2+x_3}{2}，\frac{y_2+y_3}{2}),P_{ac}(\frac{x_1+x_3}{2}，\frac{y_1+y_3}{2})$$

根据直线的点斜式方程，可求三条垂直平分线方程如下：
$$\{\begin{array}{l}{L}_{ab}=y-\frac{y_1+y_2}{2}+\frac{1}{k_{ab}}(x-\frac{x_1+x_2}{2})=0\\ L_{bc}=y-\frac{y_2+y_3}{2}+\frac{1}{k_{bc}}(x-\frac{x_2+x_3}{2})=0\\ L_{ac}=y-\frac{y_1+y_3}{2}+\frac{1}{k_{ac}}(x-\frac{x_1+x_3}{2})=0\end{array}$$

三个方程，两个未知量，因此任选其中两个方程求解圆心坐标 $O(x_0,y_0)$，则圆心$O$到点$A、B、C$任一点的距离就是外接圆的半径，即
$$r=|OA|=|OB|=|OC|=\sqrt{(x_0-x_1{)}^2+(y_0-y_1{)}^2}$$
至此，可求得外接圆的方程为
$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$$

2 C++实现

以圆：$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=1$为例，选择圆上三点 $p_1(0,1)、p_2(1,2)、p_3(1.5,\sqrt{0.75}+1)$ 进行验证。

大家也可以自行输入其他点进行验证，只需在main.cpp中修改三个点的坐标即可。

注意： 需要用到Eigen库求解二元一次方程组，PointXY类型的点；可自己定义一个结构体PointXY，也可直接使用PCL库里面定义好的结构体

mian.cpp

#include "deifen_circle_with_3points.h"int main()
{PointT p1, p2, p3;				//定义三个点p1.x = 0.0;p1.y = 1.0;p2.x = 1.0;p2.y = 2.0;p3.x = 1.5;p3.y = sqrt(0.75) + 1.0;DefineCircl3Points dc;			//定义三点定圆对象dcdc.setThreePoints(p1, p2, p3);	//设置三点dc.defineCircle();				//执行三点定圆return 0;
}

deifen_circle_with_3points.h

#pragma once
#include <iostream>
#include <pcl/io/pcd_io.h>		//二维点PointXY类型所在头文件；包含Eigen库using namespace std;
using namespace Eigen;typedef pcl::PointXY PointT;class DefineCircl3Points
{
public:/*** @brief   : 输入三点* @param[I]: p1 (x1,y1)* @param[I]: p2 (x2,y2)* @param[I]: p3 (x3,y3)* @param[O]: none* @return  : none* @note    :**/void setThreePoints(PointT &p1, PointT &p2, PointT &p3);/*** @brief   : 三点定圆* @param[I]: none* @param[O]: none* @return  : none* @note    : 输出圆心、半径、圆方程**/void defineCircle();private:PointT m_p1, m_p2, m_p3;		//输入的三点bool is_set3Points = false;		//是否输入三点};

deifen_circle_with_3points.cpp

#include "deifen_circle_with_3points.h"/**
* @brief   : 输入三点
* @param[I]: p1 (x1,y1)
* @param[I]: p2 (x2,y2)
* @param[I]: p3 (x3,y3)
* @param[O]: none
* @return  : none
* @note    :
**/
void DefineCircl3Points::setThreePoints(PointT & p1, PointT & p2, PointT & p3)
{//判断是否三点共线if ((p2.x - p1.x)*(p3.y - p1.y) - (p3.x - p1.x)*(p2.y - p1.y) == 0){PCL_ERROR("->三点共线，无法确定一个圆！\a\n");system("pause");abort();}m_p1 = p1;m_p2 = p2;m_p3 = p3;is_set3Points = true;
}/**
* @brief   : 三点定圆
* @param[I]: none
* @param[O]: none
* @return  : none
* @note    : 输出圆心、半径、圆方程
**/
void DefineCircl3Points::defineCircle()
{if (!is_set3Points){PCL_ERROR("->请输入三个点！\a\n");system("pause");abort();}float kab, kbc, kac;	//三边斜率kab = (m_p2.y - m_p1.y) / (m_p2.x - m_p1.x);kbc = (m_p3.y - m_p2.y) / (m_p3.x - m_p2.x);kac = (m_p3.y - m_p1.y) / (m_p3.x - m_p1.x);PointT Pab, Pbc, Pac;	//三边中点Pab.x = (m_p1.x + m_p2.x) / 2;Pab.y = (m_p1.y + m_p2.y) / 2;Pbc.x = (m_p2.x + m_p3.x) / 2;Pbc.y = (m_p2.y + m_p3.y) / 2;Pac.x = (m_p1.x + m_p3.x) / 2;Pac.y = (m_p1.y + m_p3.y) / 2;//矩阵方程Ga=dMatrix2f G;G << 1 / kab, 1, 1 / kbc, 1;Vector2f d;d << (Pab.y + 1 / kab * Pab.x), (Pbc.y + 1 / kbc * Pbc.x);Vector2f a;a = G.colPivHouseholderQr().solve(d);float r;	//圆半径r = sqrt(pow((a[0, 0] - m_p1.x), 2) + pow((a[1, 0] - m_p1.y), 2));cout << "圆心：" << "(" << a[0, 0] << ", " << a[1, 0] << ")" << endl;cout << "半径：" << r << endl;cout << "->圆方程："<< "(x - " << a[0, 0] << " )^2 + (y - " << a[1, 0] << " )^2 = " << r << "^2" << endl;
}

输出结果：

圆心：(1, 1)
半径：1
->圆方程：(x - 1 )^2 + (y - 1 )^2 = 1^2

当然，也可以直接调用PCL库RANSAC圆拟合的方式计算圆心和半径，只需将最大迭代次数设置为1即可

ransac.setMaxIterations(1);

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相关链接

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