点到超平面的距离公式

article/2025/9/16 22:20:01

超平面：w^Tx+b=0 

第一步：求出超平面的法向量

超平面上任意两点x_1,x_2  则向量\overrightarrow{x_1x_2}一定垂直于该超平面的法向量。这两点满足：

w^Tx_1+b=0 

w^Tx_2+b=0

        两式相减：

w^T(x_1-x_2)=0

        x_1-x_2就是向量\overrightarrow{x_1x_2}，由此可以看出超平面的法向量就是向量w

第二步：求出点到超平面的距离r

假设x_1为超平面外一点，x_0为其在超平面上的投影，且\overrightarrow{x_0x_1}垂直于超平面，也就是平行于超平面的法线。

        |w\cdot \overrightarrow{x_0x_1}|=||w||\cdot ||\overrightarrow{x_0x_1}||\cdot cos0|=||w||\cdot r 

        w\cdot \overrightarrow{x_0x_1}=w^Tx_1-w^Tx_0         

        又 x_0在超平面上，所以w^Tx_0=-b 

所以：w\cdot \overrightarrow{x_0x_1}=w^Tx_1+b

所以：r=\frac{|w^Tx+b|}{||w||}


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