学习SVM绕不开超平面的概念。先复习一些基础的概念（平面方程），帮助理解。
1. 平面及其方程：
因为平面与空间直线分别是曲面与空间曲线的特例，所以在讨论平面与空间直线以前，先引入有关曲面方程与空间曲线方程的概念。
在空间解析几何中，任何曲面或曲线都可以看做点的集合轨迹，在这样的意义下，如果曲面S与三元方程： F(x, y, z) = 0 （1-1）
有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1-1）
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1-1）
那么，方程（1-1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1-1）的图形。

空间曲线可以看做两个曲面S1, S2的交线，设
F（x, y, z）= 0 和 G（x, y, z ）= 0
分别是这两个曲面的方程，他们的交线为C。因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组：
$$\{\begin{array}{c}F（x,y,z）=0\\ G（x,y,z）=0\end{array}$$
2. 平面的方程
（1）点法式方程（1-2）：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
（2）一般方程（1-3）： $Ax+By+Cz+D=0$
（3）截距式方程（1-4）：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

. 方程详解(1-2)：
平面的法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，这个向量就叫做该平面的法线向量。
因为过空间一点可以作且只能做一平面垂直于一已知直线，所以当平面 $\pi$上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一个法线向量 n = (A, B, C) 为已知时，平面 $\pi$的位置就完全确定了。下面我们来建立平面$\pi$的方程。

设 M（x, y, z）是平面$\pi$上的任意一点，则向量 $\overrightarrow{M_{0}M}$必与平面$\pi$的法向量 $n$ 垂直，即它们的数量积等于0： $$n\bullet \overrightarrow{M_{0}M}=0$$因为 n = (A, B, C), $\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$所以有：
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

. 方程详解(1-3)：
因为平面的点法式方程（1-2）是 x, y 和 z 的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任意平面都可以用三元一次方程来表示。
设，有三元一次方程： $Ax+By+Cz+D=0$
我们任取满足该方程的一组数 $(x_0,y_0,z_0)$，即方程（1-5）$$A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$$把上述两等式相减，得方程（1-3）$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$把它和平面点法式方程（1-2）做比较 ，可以知道方程（1-3）是通过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，且以$n=(A,B,C)$为法线向量的平面方程。 其中 x, y, z 的系数就是该平面的一个法线向量 n 的坐标。

. 方程详解(1-4)：
设一平面与 x, y 和 z 轴的焦点一次为 $P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$三点，如下图：

设所求平面的方程为：$Ax+By+Cz+D=0$
因$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$三点都在这平面上，所以点$P,Q和R$都满足以上平面方程，代入平面方程，即有：
$$\{\begin{array}{c}aA+D=0\\ bB+D=0\\ cC+D=0\end{array}$$ 解得$$A=-\frac{D}{a},B=-\frac{D}{b},C=-\frac{D}{c}$$以此代入方程（1-3）并除以 $D(D̸=0)$ 而 a, b 和 c 依次叫做平面在 x, y 和 z 轴上的截距。

3.超平面
有了上面平面的理解，超平面就是一个数学概念了。 一维直线空间上的超平面是数轴上的一个点，二维平面空间上的超平面是一条线，三维空间里的超平面是一个面。以此类推。
百度百科上对超平面的数学定义是这样的：超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间，它有一个 n 维向量和一个实数定义。因为是子空间，所以超平面一定过原点。

4. 点到超平面的距离
设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 是平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 外一点，求$P_0$ 到这个平面的距离。

在平面上任取一点$P_1(x_1,y_1,z_1)$，并作一法线向量 n ，由上图，考虑到 $\overrightarrow{P_0{P}_1}$ 与 n 的夹角 $\theta$ 也可能是钝角，所求的距离$$d=|\overrightarrow{P_0{P}_1}||cos\theta |=\frac{|\overrightarrow{P_0{P}_1}\bullet n|}{|n|}$$而$$n=(A,B,C),\overrightarrow{P_0{P}_1}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)$$ 得$$\frac{\overrightarrow{P_0{P}_1}\bullet n}{|n|}=\frac{A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$$$=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0-(A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
因为$A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0$，所以$$\frac{\overrightarrow{P_0{P}_1}\bullet n}{|n|}=\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
由此，得点$P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离公式：$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

其矢量表示方式如下：设矢量 w 为平面的法向量，标量 b 为平面到原点的截距，其中 $w,x$ 均为列向量， 也可得超平面方程：$$f(x)=w^T+b=0$$由此，点 x 到超平面的距离公式为$$d=\frac{|w^{T}x+b|}{||w||}$$

参考资料：同济版《高等数学》下册，