原文： OpenGLProjection Matrix (songho.ca)

看这篇文章主要是因为对learnopengl深度测试这一章的些许疑惑，

为什么在片段着色器中，存储的每一个fragment的深度值并不是线性分布？体现在想要显示出场景里面所有物体的深度值，深度值是能在片段着色器的内建变量gl_FragCoord变量中查到，这个变量中存储的是z-buffer中该片段对应的坐标值（0-1.0）（当然是通过顶点插值出来的，这一部分OPENGL自动完成），那么它为什么是非线性的呢？主要是因为透视投影导致。下面这篇文章就能回答问题。

可以观察透视投影矩阵第四行是00-10，这其实就是在给透视除法做准备，经过透视矩阵或者说裁剪矩阵之后，透视坐标w会被赋予特殊的意义（-z,z是view空间内的该点z坐标）;

这是实际上通过投影变换之后ze到zn的变换，可以看出来这个映射是非线性的。

另外注意投影矩阵会改变空间的旋向性：空间从右手坐标系变换到了左手坐标系。这意味着，离摄像机越远，z值将越大。

也就是坐标系会变成

从view坐标到NDC空间，其实是透视投影矩阵projection+ 透视除法，只用projection矩阵之后其实是在裁剪空间，这个时候的w分量是-z，在这一步可以进行裁剪，将xc,yc,zc与w进行比较，在这之外的点全部去除，并且构造新的点。这就完成了裁剪。

除以w，即透视除法，也就到了NDC空间。

关于深度测试：gl_FragCoord给的是0-1之间的值，是将NDC中的深度值，映射到了0-1.0之间（线性的），那么要还原这个值，就需要先还原到NDC空间

float z = depth * 2.0 - 1.0;

然后通过投影矩阵的逆变换还原

注意这个式子跟我之前推出来的不一样，差个负号，这是因为：要注意！从view坐标到NDC坐标会发生空间旋性变化，从右手系到了左手系，里面原本越大的深度值，换过去会变成一个越小的负数，所以应该乘一个负号，变成正值，这样就可以比较大小了。

正文开始

概述

计算机显示器是二维表面。OpenGL渲染的3D场景必须作为2D图像投影到计算机屏幕上。GL_PROJECTION矩阵用于此投影变换。首先，它将所有顶点数据从view坐标转换为裁剪坐标。然后，这些裁剪坐标也通过除以裁剪坐标的w分量而变换为归一化设备坐标（NDC）。

因此，我们必须记住，裁剪（截头体剔除）和NDC转换都集成到GL_PROJECTION矩阵中。以下部分描述了如何从6个参数构建投影矩阵；左、右、下、上、近和远边界值。

注意，截头体剔除（剪裁）是在剪裁坐标中执行的，就在除以wc之前。通过与wc的比较，测试了剪辑坐标xc、yc和zc。如果任何剪裁坐标小于-wc或大于wc，则顶点将被丢弃。

然后，OpenGL将重建发生剪切的多边形的边缘。

透视投影矩阵：

在透视投影中，截头棱锥体（view坐标）中的3D点被映射到立方体（NDC）；

x坐标从[l，r]到[-1，1]的范围，y坐标从[b，t]到[-1，1]，z坐标从[-n，-f]到[-1，1]。

注意，view坐标在右手坐标系中定义，但NDC使用左手坐标系。也就是说，原点的相机在view空间中沿-Z轴观看，但在NDC中沿+Z轴观看。由于glFrustum（）只接受near和far的正值，因此我们需要在GL_PROJECTION矩阵的构造过程中对它们求反。

在OpenGL中，眼睛空间中的3D点被投影到近平面（投影平面）上。下图显示了眼睛空间中的点（xe，ye，ze）如何投影到近平面上的（xp，yp，zp）。

从截头体的俯视图来看，眼睛空间的x坐标xe被映射到xp，这是通过使用相似三角形的比率来计算的；

从截头体的侧视图来看，yp也以类似的方式计算；

注意xp和yp都依赖于ze；它们与-ze成反比。换句话说，它们都被-ze除。这是构建GL_PROJECTION矩阵的第一条线索。在通过乘以GL_PROJECTION矩阵变换view坐标之后，裁剪坐标仍然是齐次坐标（http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html）。它最终成为归一化设备坐标（NDC）是通过除以裁剪坐标的w分量。（请参阅有关OpenGL转换的详细信息。http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html）

因此，我们可以将裁剪坐标的w分量设置为-ze。并且，GL_PROJECTION矩阵的第4行变为（0，0，-1，0）。

接下来，我们用线性关系将xp和yp映射到NDC的xn和yn；[l，r]⇒ [-1，1]和[b，t]⇒ [-1, 1].

然后，我们将xp和yp代入上述方程。

注意，我们使每个方程的两个项都可以被-ze整除，以进行透视除法（xc/wc，yc/wc）。我们之前将wc设置为-ze，括号内的部分变为裁剪坐标的xc和yc。从这些方程中，我们可以找到GL_PROJECTION矩阵的第一行和第二行。

现在，我们只需要求解GL_PROJECTION矩阵的第三行。发现zn与其他的有点不同，因为view空间中的ze总是投影到近平面上的-n。但我们需要用于剪切和深度测试的唯一z值。此外，我们应该能够取消投影（逆变换）它。由于我们知道z不依赖于x或y值，我们借用w分量来找到zn和ze之间的关系。因此，我们可以这样指定GL_PROJECTION矩阵的第三行。

在view空间中，We等于1。因此，方程式变为：

为了找到系数A和B，我们使用（ze，zn）关系；（-n，-1）和（-f，1），并将它们放入上述方程中。

为了求解A和B的方程，重写B的方程（1）；

将方程（1’）代入方程（2）中的B，然后求解A；

将A代入方程（1），求出B；

我们找到了A和B。因此，ze和zn之间的关系变为；

最后，我们找到了GL_PROJECTION矩阵的所有条目。完整的投影矩阵为：

此投影矩阵用于一般平截头体。如果观看体积viewing volume是对称的，也就是r = -l, t = -b，则可以简化为:

在我们继续之前，请再次查看ze和zn之间的关系，方程式（3）。你注意到它是一个有理函数，是ze和zn之间的非线性关系。这意味着近平面的精度非常高，但远平面的精度很低。如果范围[-n，-f]越来越大，则会导致深度精度问题（z-fighting）；远平面附近的ze的微小变化不影响zn值。n和f之间的距离应尽可能短，以最小化深度缓冲精度问题。