隐函数作图

article/2025/7/15 9:55:59
背景介绍
Matlab提供了一系列绘图函数,常见的包括绘制2D曲线的plot函数、绘制2D隐函数曲线的ezplot函数、绘制3D曲面的meshsurf函数、绘制3D显函数曲面的ezmeshezsurf函数。值得注意的是,ez系列的绘图函数里只有ezplot是绘制隐函数曲线的,ezmeshezsurf都是画显函数曲面的(不要被ez的名字误解了)。遗憾的是,matlab里并没有提供直接绘制3D隐函数曲面的函数。本帖的目的就是归纳总结几种方便易用的绘制隐函数曲面的办法。

问题描述
如何绘制 3 元方程 f(x, y,z) = 0 确立的隐函数曲面 z = g(x,y) ?其中,方程 f(x, y,z) = 0 无法求解 z 关于 x y 的表达式,即 g(x, y) 的显式表达式无法获取。

准备工作——基础函数介绍
为了解决上述问题,我们需要先 对几个重要的图形函数 isosurface patch isonormals 取得初步的了解,如果您已经对这三个函数很熟悉,可以直接跳过这一步。 

l.  isosurface 等值面函数
调用格式: fv = isosurface(X,Y,Z,V,isovalue)
作用:返回某个等值面(由 isovalue 指定)的表面( faces )和顶点( vertices )数据,存放在结构体 fv 中( fv vertices faces 两个域构成)。如果是画隐函数  v = f(x,y,z) = 0  的三维图形,那么等值面的数值为 isovalue = 0

2.  patch函数
调用格式: patch(X,Y,C)  以平面坐标 (X, Y) 为顶点,构造平面多边形, C RGB 颜色向量
                    patch(X,Y,Z,C) 以空间 3-D 坐标 (X, Y,Z) 为顶点,构造空间 3D 曲面, C RGB 颜色向量
                    patch(fv) 通过包含verticesfaces两个域的结构体fv来构造3D曲面,fv可以直接由等值面函数isosurface得到
例如:patch(isosurface(X,Y,Z,V,0))

3.  isonormals等值面法线函数
调用格式: isonormals(X,Y,Z,V,p)
实现功能:计算等值面 V 的顶点法线,将 patch 曲面 p 的法线设置为计算得到的法线( p patch 返回得到的句柄)。如果不设置法线的话,得到曲面在过渡地带看起来可能不是很光滑


有了上述三个函数后,我们已经具备间接绘制3D隐函数曲面的能力了。下面以方程
f(x,y, z) = x.*y.*z.*log(1+x.^2+y.^2+z.^2)-10 = 0为例,讲解如何画3D隐函数曲面。


解决办法一:isosurface + patch+ isonormals
实现原理:先定义 3 元显函数 v =f(x, y, z),  则  v = 0  定义的等值面就是 z = g(x,y) 3D 曲面。利用 isosurface 函数获取 v= 0  的等值面,将得到的等值面直接输入给 patch 函数,得出 patch 句柄 p ,并画出 patch 曲面的平面视角图形。对 p isonormals 函数设置曲面顶点数据的法线,最后设置颜色、亮度、 3D 视角,得到 3D 曲面。

代码如下:
  1. f = @(x,y,z) x.*y.*z.*log(1+x.^2+y.^2+z.^2)-10;      % 函数表达式
  2. [x,y,z] = meshgrid(-10:.2:10,-10:.2:10,-10:.2:10);       % 画图范围
  3. v = f(x,y,z);
  4. h = patch(isosurface(x,y,z,v,0)); 
  5. isonormals(x,y,z,v,h)              
  6. set(h,'FaceColor','r','EdgeColor','none');
  7. xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); 
  8. alpha(1)   
  9. grid on; view([1,1,1]); axis equal; camlight; lighting gouraud
复制代码

代码说明:
  • alpha函数用于设置patch曲面的透明度(可以是0~1任意数值),表示不透明,表示最大透明度。如果想设置透明度0.7,可以修改alpha(1)alpha(0.7)
  • 使用此代码解决特定问题时,只需将第1行的函数表达式替换为特定问题的函数表达式,将第2行数据(xyz)范围换成合适的范围,后续代码无需任何变动。

得到图形:
1.png 
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解决办法二:Mupad
Mupad 符号引擎里提供了现成的三维隐函数画图函数: Implicit3d
matlab 里开启 Mupad 的方法是:在 commandwindow  里输入 mupad  来启动一个 notebook 。在启动的 notebook 里再输入如下代码:
  1. plot(plot::Implicit3d(x*y*z*ln(1+x^2+y^2+z^2)-10,
  2. x = -10..10, y = -10..10, z = -10..10), Scaling = Constrained)
复制代码
回车后得到如下图形:

1.png 
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解决办法三:第三方工具包ezimplot3
matlab central   file exchange  上有一个非常优秀的绘制 3 维隐函数的绘图函数,叫 ezimplot3 。感兴趣的可以在如下链接下载:
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/23623-ezimplot3-implicit-3d-functions-plotter
也可以直接从本帖下载:   ezimplot3.zip (3.71 KB, 下载次数: 25521) 

ezimplot3 一共有三种参数调用方式
  • ezimplot3(f) 画函数f(X,Y,Z)= 0 -2*pi< X < 2* pi, -2* pi < Y < 2* pi, -2* pi < Z < 2* pi上的图形
  • ezimplot3(f, [A,B])画函数f(X,Y,Z)= 0 A< X < B, A < Y < B, A < Z < B上的图形
  • ezimplot3(f, [XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX])画函数f(X,Y,Z)= 0 XMIN< X < XMAX, YMIN < Y < YMAX, ZMIN < Z < ZMAX上的图形


ezimplot3 使用方法:解压 ezimplot3.zip ,将解压得到的 ezimplot3.m  添加到 matlab 当前搜索路径后就可以使用了。然后,可以直接在 command window  输入代码:
  1. f = @(x,y,z) x*y*z*log(1+x^2+y^2+z^2)-10;
  2. ezimplot3(f,[-10,10]);  % [-10, 10] 表示图形范围x、y、z都在区间[-10, 10]
复制代码
即得到如下图形:
1.png 
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若干说明:
  • ezimplot3和方法一本质上完全相同ezimplot3实际上也是基于isosurface+ patch + isonormals的实现
  • ezimplot3与方法一的图形视觉效果相同,唯一的区别是,ezimplot3使用了0.7的透明度:alpha(0.7)
  • ezimplot3在方法一基础上增加了一些外包功能,如:允许函数句柄f是非向量化的函数(即函数定义无需.*  ./  .^),这在ezimplot3内部会自动调用vectorize实现函数向量化。另外,ezimplot3可以在调用的时候方便的设定坐标范围。


常见问题和解决办法:

  • 常见问题:很多人在使用以上方法后,经常出现的问题是代码没有任何错误,程序可以运行,就是出来的图形只有一个空坐标轴,看不到图形。
  • 问题分析出现这种问题的原因是图形的显示区域没设对。比如,我们上述三种方法都是在x-1010的范围内,如果你设的范围内本身就没有图形,那当然就看不到图形了。
  • 解决办法:把图形显示范围重新设置对即可,如果不知道图形的大致范围,就手工多改几次,直到看到图形为止

  • 方法一,图形范围是在第2句的meshgrid函数决定的,meshgrid里给出的xyz范围就是最终画图范围,修改meshgrid语句即可。
  • 方法二(Mupad),x =-10..10, y = -10..10, z = -10..10是表示显示范围,修改这里即可。
  • 方法三,用ezimplot3(f,[A, B]) ezimplot3(f, [XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX])两种方式控制图形显示范围。


后记:slice切片函数

matlab 还提供一种画切片图形的函数 slice slice 做出的图是在切片上用颜色表示 v 的值。有时,我们画切片图形也有助于我们理解一个 4 维图形。   v= f(x,y,z) = x*y*z*exp(-(x^2+y^2+z^2))   为例,假设我们希望看  v =f(x,y,z)   x =0, y = 1, z = 1  这些平面切片的图形,我们可以用以下代码:
  1. [x,y,z] = meshgrid(linspace(-2,2));
  2. v = x.*y.*z.*exp(-(x.^2+y.^2+z.^2));
  3. xslice = 0; yslice = 1; zslice = 1;
  4. slice(x,y,z,v,xslice,yslice,zslice)
  5. xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
  6. colormap hsv 
复制代码
得到图形为:

1.png 
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经常听有人说想画 “4D图形”,前3维数据[x,y,z]表示空间位置,第4维数据v表示颜色(温度等),这类图形可以方便地通过slice切片实现: 
slice(x,y,z,v,xslice,yslice,zslice),这里就是在指定的切片上在空间坐标[x,y,z]处,用v值指定颜色画图。关于这类 “4D图形”的画法的一个典型例子: http://www.ilovematlab.cn/thread-265517-1-1.html

另外,我在 23 楼提供了一个slice 函数应用的生动例子: slice 3D 动画图形。感兴趣的朋友可以看看

http://chatgpt.dhexx.cn/article/DXsASnoK.shtml

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