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实际问题中碰到的函数 $f(x)$ 是各种各样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学式子，只提供了一些离散数据，譬如某些点上的函数值和导数值。

由于问题的复杂性，直接研究函数 $f(x)$ 可能很困难。面对这种情况，一个很自然的想法是，设法将所考察的函数 $f(x)$ “简单化”，就是说，构造某个简单的函数 $p(x)$ 作为 $f(x)$ 的近似函数，然后通过处理 $p(x)$ 获得关于 $f(x)$ 的结果。

如果要求近似函数 $p(x)$ 取给定的离散数据，则称之为 $f(x)$ 的插值函数。

例：已知 $\sqrt{100}=10,\sqrt{121}=11,\sqrt{144}=12$，试用拉格朗日插值公式求解根号 115 的值。

运行示例：

程序源码：

#include <iostream>#define MAX 10using namespace std;typedef struct Point
{double x;double y;
} point;int main(void)
{int n;cout << "请输入插值节点的个数（<10）:";cin >> n;point p[MAX];for (int i = 1; i <= n; i++){cout << "请输入第 " << i << " 个点的坐标:";cin >> p[i].x;cin >> p[i].y;}double x;cout << "请输入 x 的值:";cin >> x;double sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){double denominator = 1;double numerator = 1;// 实现拉格朗日基函数各分子、分母部分的求解for (int j = 1; j <= n; j++){if (i != j){denominator *= p[i].x - p[j].x;numerator *= x - p[j].x;}}// 求解拉格朗日插值法的每一项，item 为每一项插值基函数与其对应函数值的乘积double item = numerator / denominator * p[i].y;sum += item;}cout << "运用拉格朗日基函数插值法求得 f(x) ≈ p(x) = " << sum << endl;return 0;
}