0 简单情况

  先从简单的情况开始推导，考虑三个向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$在同一个平面，其中$\vec{c}\perp \vec{a}$，如下图所示，求取$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$：

  易得$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}$与$\vec{a}$反向，我们设：
$$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=k\cdot \vec{a}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  其中$k$为常数，利用长度的性质：
$$|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|sin(<a,b>)=|k||\vec{a}|\text{\hspace{1em}(2)}$$
  其中$<a,b>$表示向量$\vec{a},\vec{b}$的夹角，根据几何关系可以得到：
$$|\vec{b}||\vec{c}|sin(\frac{\pi }{2}\pm <b,c>)=|k|\text{\hspace{1em}(3)}$$
  进而：
$$|k|=|\vec{b}||\vec{c}|cos(<b,c>)=\vec{b}\cdot \vec{c}\text{\hspace{1em}(4)}$$
  得出结论此时，根据几何关系可得正负号：
$$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=-(\vec{b}\cdot \vec{c})\cdot \vec{a}\text{\hspace{1em}(5)}$$
  同理假设$\vec{c}\perp \vec{b}$，此时结果向量与$\vec{b}$同向，可以得出结论：
$$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=(\vec{a}\cdot \vec{c})\cdot \vec{b}\text{\hspace{1em}(6)}$$

1 由简单情况到一般情况.

  对于任意三维空间向量$\vec{c}$可以分解为垂直$\vec{a},\vec{b}$所在平面的分量${\vec{c}}_{ab}$，与$\vec{a}$垂直的分量${\vec{c}}_a$，与$\vec{b}$垂直的分量${\vec{c}}_b$：
$$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=(\vec{a}\times \vec{b})\times ({\vec{c}}_a+{\vec{c}}_b+{\vec{c}}_{ab})\text{\hspace{1em}(7)}$$
  于是根据式（5）（6）以及垂直关系：
$$(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=(\vec{a}\cdot \overrightarrow{c_b})\cdot \vec{b}-(\vec{b}\cdot \overrightarrow{c_a})\cdot \vec{a}=(\vec{a}\cdot \vec{c})\cdot \vec{b}-(\vec{b}\cdot \vec{c})\cdot \vec{a}\text{\hspace{1em}(8)}$$

2 三个三维矢量连续叉乘的矩阵公式

2.1 叉乘的矩阵表示

  后文将不再涉及未知数，字母将直接表示矢量。对于一个矢量$w$其叉乘任意矢量$v$，等价于一个矩阵乘$v$，该矩阵记为$w_{\times }$，其值如下：
$$w\times v=w_{\times }v=\left[\begin{array}{ccc}0& -w_z& w_y\\ w_z& 0& -w_x\\ -w_y& w_x& 0\end{array}\right]v\text{\hspace{1em}(9)}$$
  该矩阵的性质如下图，本文只针对连续叉乘的性质(下图性质(7)(8))进行证明，其余的性质比较简单：

  先看倒数第二条性质(8)，根据式8：
$$(a\times b)\times c=b{a}^{T}c-a{b}^{T}c=(b{a}^T-a{b}^T)c\text{\hspace{1em}(10)}$$
  从而得：
$$(a\times b{)}_{\times }=b{a}^T-a{b}^T\text{\hspace{1em}(11)}$$
  性质(9)很容易验证，那么结合性质(8)可以轻易推出性质(7)