拉格朗日插值法 

            给出对于给定的若n+1个点的坐标（x0,y0)，(x1,y1)…，(xn,yn)，对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式只有一个。

           

           应用：给出平面上n+1个点，求一条穿过这n+1个点的n次多项式，或这个多项式在另一个点处的值。

           朴素的拉格朗日插值法公式：

                 

        

         

 

重心拉格朗日插值法

         所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式。它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个都除以（xj-x(k+1))，就可以得到新的重心权，计算复杂度为O(n)，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度O(n^2)降了一个量级。

 

         

       

        

 

       

其中wj称为重心权

 

 

重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式

                

 

将(1)式的拉格朗日插值多项式用来对函数  插值，可以得到：

因为是一个多项式。

 

因此，将L(x)除以g(x)后可得到(2)式

 

继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x值计算L(x)的时候不必计算多项式。它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零。同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性。第一型拉格朗日插值是向后稳定的的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小[9]