教材信息： 数值分析(第二版) 李红 华中科技大学出版社
Gauss-Legendre Ⅱ型求积公式
- [a,b]区间上的3点高斯-拉格朗日（Gauss-Legendre）复化求积公式
- QA
- 为什么复化高斯-拉格朗日(Gauss-Legendre)求积公式不需要像牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式一样对部分节点乘以倍数
- 为什么在节点数一定时高斯-拉格朗日(Gauss-Legendre)求积公式具有最高的代数精度
[a,b]区间上的3点高斯-拉格朗日（Gauss-Legendre）复化求积公式
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 9 ∑ k = 0 2 n − 2 { 5 [ f ( x k + 1 − h 5 3 ) + f ( x k + 1 + h 5 3 ) ] + 8 f ( x k + 1 ) } \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{9} \sum_{k=0}^{2n-2} \big\{5[f( x_{k+1}-h \sqrt{ \frac{5}{3}} ) +f( x_{k+1}+h \sqrt{ \frac{5}{3}} )]+ 8 f(x_{k+1})\big\} ∫abf(x)dx≈9hk=0∑2n−2{5[f(xk+1−h35)+f(xk+1+h35)]+8f(xk+1)}
与原书不同的地方使用红色标出：
在累加区间和节点下标进行了调整
X k + 2 X_{k+2} Xk+2推导
x k = a + k h x_{k}=a+kh xk=a+kh
x k + 2 = a + k h + 2 h x_{k+2}=a+kh+2h xk+2=a+kh+2h
x k + x k + 2 2 = 2 a + 2 k h + 2 h 2 = a + k h + h = x k + 1 \frac{x_{k}+x_{k+2}}{2} = \frac{2a+2kh+2h}{2} =a+kh+h=x_{k+1} 2xk+xk+2=22a+2kh+2h=a+kh+h=xk+1
说明
此复化求积公式就是对上式(见书) [ x k , x k + 2 ] [x_{k},x_{k+2}] [xk,xk+2]区间上三点Gauss-Legendre(以下简称G-L)的累加，只是进行了一些形式上的简单变形。
QA
为什么复化高斯-拉格朗日(Gauss-Legendre)求积公式不需要像牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式一样对部分节点乘以倍数
形式上：
因为G-L公式不存在求积节点共用，而Newton-Cotes公式(以下简称N-C)存在节点共用
思想上：
N-C公式是从几何意义上直观的逼近积分，如脱胎于梯形面积公式的梯形公式（p88 4.1），在梯形面积公式上又叠了一层中点三角型面积的辛普森公式（p89 4.3），这些面积公式共同的特点就是会用到端点函数值，出于简化算式形式的考虑，就将这些重复运算的端点折叠成了公式中某些节点前乘以的倍数。
如复化梯形公式中的2（p97 4.18），复化辛普森公式中的4、2(p98 4.21)
G-L公式是从代数层面上逼近积分。复化G-L公式选取每段区间内拉格朗日正交多项式的零点作为Gauss点，该零点不位于区间端点，因此不存在求积节点共用。但这也导致了更大的计算量。
如12段3点复化G-L公式要计算12*3=36个节点
而12段3点复化simpson公式要计算36-11=25个节点
为什么在节点数一定时高斯-拉格朗日(Gauss-Legendre)求积公式具有最高的代数精度
G-L公式在以代数精度为优化目标的前提下，同时将节点位置、节点权重 (求积系数)纳入考量，因此能够达到一定求积节点个数（n+1）下，最高的代数精度（2n+1）
