logistic回归——PYTHON实现

概述：

​ logistic回归又称logistic回归分析，是一种线性回归模型。logistic回归应用最广泛的是处理二分类问题。比如，探讨引发疾病的危险因素，判断该病人是否患有该病；探讨房价的涨跌，进而给出在何时购买房子的最优决策。在logistic回归中，自变量可以是连续的，也可以是分立的。

​ 以预测房价涨跌为例，选择两种不同类型的房子，一种是涨价组，另一组是非涨价组，两组房子必定具有不同的占地面积、房屋位置、建筑年限等特征，因此因变量为是否涨价，自变量可以包括很多不同的特征，比如所在城市、占地面积等不同特征。

​ 通过logistic回归，可以得到自变量的权重，从而大致了解影响疾病发作、股票走势、房价涨跌的因素，同时根据这些权重值，预测发生某件事情的可能性。

​ 本文首先会介绍logistic回归所用到的基本的数学知识，接着会给出logistic回归在PYTHON中的编程实现。最后，会在大众比较熟悉且感兴趣的领域——股票预测方面应用logistic回归，观察其在量化投资方面的应用。

logistic回归与线性回归：

​ logistic回归与线性回归均属于广义的线性模型，只不过logistic回归将输出又输入到sigmoid函数中，通过引入非线性因素，给出二分类问题中不同类别的概率值。

logistic回归所用到的基本数学原理：

​ 首先，与一般的机器学习算法一样，在输入参数时，首先应该选择输入的特征。比如，在预测房屋价格涨跌时，房屋面积可能是一个比较优秀的特征选择，而房屋所处小区的保安年龄可能就不是一个好的特征选择。因为特征提取、特征选择等特征工程是机器学习中的另一研究问题，本文在此不做赘述，仅选择能够获取到的数据当作其特征。

​ 选取好特征后，我们就可以构建一个线性函数：
$$y=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_k{x}_k$$
其中，$w$ 为我们要寻找的各个参数值，$x$ 为我们选取的各个特征值。

​ 此时，假设我们已经寻找到所有 $w$ 值，则可以将特征空间 $x_1,x_2,...,x_k$ 上样本的特征值通过 $w_1,w_2,...,w_k$ 映射到值域空间 $y$ 上，但此时$y$ 可能为某巨大的数，也可能为某负数，因此，我们引入一个非线性函数，将 $y$ 值映射成 $(0,1)$ 范围内的一个值。sigmoid函数如下图所示。

​

`于是，我们就建立了概率值$P$ 与 $y$的关系：
$$\begin{gathered} ln(\frac{P}{1-P})=y \\ P=\frac{e^y}{1+e^y} \end{gathered}$$
​ 最终，我们就可以通过这样一个计算图计算出某个类别的概率值：

​ 但是，目前我们只是应用了 $W$ 的值，我们并没有通过大量样本计算其值。因此，我们引入一个新的概念——梯度下降，来计算，准确来说是纠正这个向量的值。

​ 梯度下降法，顾名思义，计算过程就是沿梯度下降的方向求解极小值。

​ 现在我们又有一个问题，何为极小值？准确来说，这个值到底是怎么算出来的？在机器学习中，对于每个算法，我们都会引入一个函数，称其为代价函数。该代价函数衡量了我们训练的模型的好坏，衡量了这个算法的性能。代价函数最小为0，最大为正无穷，当代价函数为0时，该算法在训练集上的准确度为100%，但我们在训练时不应让代价函数为0，因为当代价函数为0时，模型会将训练集中的噪声也学习进去，因而在测试集上可能表现并不好。

​ 介绍完代价函数的作用，代价函数到底该怎么选取？对于一般的拟合模型，在不考虑噪声的情况下，最优的结果即为通过那些点的一条曲线。当通过这些点时，拟合值与真实值相等，形象的说就是目标与当前所处位置重合。因此，在定义代价函数时，我们遵循的是：目前状态与当前状态之间的距离差。（该处类似于评估模型TOPSIS法中某方案与最优方案的相对接近程度，也就是TOPSIS中的评估值）

​ 对于这个问题，我们先定义一个样本的损失函数如下：
$$L(\hat{y},y)=-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})$$
​ 然后定义算法的代价函数如下：
$$J(w)=\frac{1}{k}\sum L({\hat{y}}^{(i)},y^{(i)})$$
​ 该代价函数衡量了训练集整体的混乱度，即信息熵。

​ 所以，梯度下降法就是沿着梯度的方向，寻找一个最优的权重向量 $W$ ，使得代价函数的函数值最小（但不是越小越好）。

​ 至此，我们介绍完了logistic回归所要应用的所有数学公式。下面，展示logistic编程与调包。

编程：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as npclass Logistic():def __init__(self):# 生成训练样本，其中a为特征值，b为标签a=[[0.50, 0.75, 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 1.75, 2.00, 2.25,2.50, 2.75, 3.00, 3.25, 3.50, 4.00, 4.25, 4.50, 4.75, 5.00, 5.50]]a=np.array(a)a=a.Tones=np.ones((a.shape[0],1))a=np.column_stack((ones,a))b=[[0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1]]b=np.array(b)b=b.Tself.data_set=aself.data_target=bself.feature_size=self.data_set.shape[1]self.number_size=self.data_set.shape[0]self.W=np.random.randn(self.feature_size)passdef LG_Linear(self):#线性层，将特征空间映射为值域空间y=np.dot(self.data_set,self.W.transpose())y=np.array([y])y=y.Treturn ypassdef LG_sigmoid(self,y):#非线性层，将值域空间映射为（0，1）P=np.exp(y)/(1+np.exp(y))return Ppassdef LG_cost(self,P,target):#损失函数cost=-target*np.log(P)-(1-target)*np.log(1-P)return costpassdef BP(self,P,target):#反向传播函数learningrate=0.05for i in range(self.number_size):dz=P[i][0]-target[i][0]#dz为代价函数求导所得dw=self.data_set[i][:]*dzself.W=self.W-learningrate*dwprint(self.W)return self.Wpassdef predict(self,x):#预测函数pre=np.dot(self.W,x.transpose())pre=self.LG_sigmoid(pre)return prepasspass
def main():lg=Logistic()y=lg.LG_Linear()P=lg.LG_sigmoid(y=y)# lg.LG_cost(P=P,target=lg.data_target)for _ in range(10):lg.BP(P=P,target=lg.data_target)pre=lg.predict(np.array([[1,5]]))print(lg.W)print(pre)passif __name__ == '__main__':main()

调包：

# -*- coding: utf-8 -*-# 导包
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LogisticRegression# 加载数据a = [[0.50, 0.75, 1.00, 1.25, 1.50, 1.75, 1.75, 2.00, 2.25, 2.50, 2.75, 3.00, 3.25, 3.50, 4.00, 4.25, 4.50, 4.75, 5.00,5.50]]
a = np.array(a)
a = a.T
b = [[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]
b = np.array(b)
b = b.T
x=a
y=blr = LogisticRegression()# 训练数据
lr.fit(x,y)#求出w斜率和b截距的值
w = lr.coef_
b = lr.intercept_
print(w, b)# 预测一下概率
predict= lr.predict_proba([[3]])
print(predict)