文章目录
- 1.问题简介
- 2.求解方法
- 3.深度优先搜索加回溯法
- 3.1 求解第一条可行路径
- 3.2 求解最短路径
- 4.广度优先搜索
- 小结
- 参考文献
1.问题简介
给定一个迷宫，指明起点和终点，找出从起点出发到终点的有效可行路径，就是迷宫问题（maze problem）。
迷宫可以以二维数组来存储表示。0表示通路，1表示障碍。注意这里规定移动可以从上、下、左、右四方方向移动。坐标以行和列表示，均从0开始，给定起点（0,0）和终点（4,4），迷宫表示如下：
int maze[5][5]={{0,0,0,0,0},{0,1,0,1,0},{0,1,1,0,0},{0,1,1,0,1},{0,0,0,0,0}
};
那么下面的迷宫就有两条可行的路径，分别为：
(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,4) (2,4) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4)(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ；
可见，迷宫可行路径可能有多条，且路径长度可能不一。
2.求解方法
迷宫问题的求解可以抽象为连通图的遍历，因此主要有两种方法。
第一种方法：深度优先搜索（DFS）加回溯。
优点： 无需像广度优先搜索那样（BFS）记录前驱结点。
缺点： 找到的第一条可行路径不一定是最短路径，如果需要找到最短路径，那么需要找出所有可行路径后，再逐一比较，求出最短路径。
第二种方法：广度优先搜索（BFS）。
优点： 找出的第一条路径就是最短路径。
缺点： 需要记录结点的前驱结点，来形成路径。
下面将给出上面两种方法的具体步骤和实现。
3.深度优先搜索加回溯法
3.1 求解第一条可行路径
实现步骤：
（1）给定起点和终点，判断二者的合法性，如果不合法，返回；
（2）如果起点和终点合法，将起点入栈；
（3）取栈顶元素，求其邻接的未被访问的无障碍结点。求如果有，记其为已访问，并入栈。如果没有则回溯上一结点，具体做法是将当前栈顶元素出栈。其中，求邻接无障碍结点的顺序可任意，本文实现是以上、右、下、左的顺序求解。
（4）重复步骤（3），直到栈空（没有找到可行路径）或者栈顶元素等于终点（找到第一条可行路径）。
实现示例：
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;struct Point{ //行与列int row; int col; Point(int x,int y){this->row=x;this->col=y;}bool operator!=(const Point& rhs){if(this->row!=rhs.row||this->col!=rhs.col)return true;return false;}
}; //func:获取相邻未被访问的节点
//para:mark:结点标记，point：结点，m：行，n：列
//ret:邻接未被访问的结点
Point getAdjacentNotVisitedNode(bool** mark,Point point,int m,int n){Point resP(-1,-1);if(point.row-1>=0&&mark[point.row-1][point.col]==false){//上节点满足条件resP.row=point.row-1;resP.col=point.col;return resP;}if(point.col+1<n&&mark[point.row][point.col+1]==false){//右节点满足条件resP.row=point.row;resP.col=point.col+1;return resP;}if(point.row+1<m&&mark[point.row+1][point.col]==false){//下节点满足条件resP.row=point.row+1;resP.col=point.col;return resP;}if(point.col-1>=0&&mark[point.row][point.col-1]==false){//左节点满足条件resP.row=point.row;resP.col=point.col-1;return resP;}return resP;
}//func：给定二维迷宫，求可行路径
//para:maze：迷宫；m：行；n：列；startP：开始结点 endP：结束结点； pointStack：栈，存放路径结点
//ret:无
void mazePath(void* maze,int m,int n,const Point& startP,Point endP,stack<Point>& pointStack){//将给定的任意列数的二维数组还原为指针数组，以支持下标操作int** maze2d=new int*[m];for(int i=0;i<m;++i){maze2d[i]=(int*)maze + i*n;}//起点和终点必须为无障碍结点，否则输入错误if(maze2d[startP.row][startP.col] == 1 || maze2d[endP.row][endP.col] == 1){return ;}//建立各个节点访问标记bool** mark=new bool*[m];for(int i=0;i<m;++i) {mark[i]=new bool[n];}for(int i=0;i<m;++i) {for(int j=0;j<n;++j){mark[i][j]=*((int*)maze+i*n+j);}}//将起点入栈pointStack.push(startP);mark[startP.row][startP.col]=true;//栈不空并且栈顶元素不为结束节点while(pointStack.empty()==false&&pointStack.top()!=endP){Point adjacentNotVisitedNode=getAdjacentNotVisitedNode(mark,pointStack.top(),m,n);if(adjacentNotVisitedNode.row==-1){ //没有未被访问的相邻节点pointStack.pop(); //回溯到上一个节点continue;}//入栈并设置访问标志为truemark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=true;pointStack.push(adjacentNotVisitedNode);}
}int main() {int maze[5][5]={{0,0,0,0,0},{0,1,0,1,0},{0,1,1,0,0},{0,1,1,0,1},{0,0,0,0,0}};Point startP(0,0);Point endP(4,4);stack<Point> pointStack;mazePath(maze,5,5,startP,endP,pointStack);//没有找打可行解if(pointStack.empty()==true) {cout<<"no right path"<<endl;} else {stack<Point> tmpStack;cout<<"path:";while(pointStack.empty()==false) {tmpStack.push(pointStack.top());pointStack.pop();}while (tmpStack.empty()==false) {printf("(%d,%d) ",tmpStack.top().row,tmpStack.top().col);tmpStack.pop();}}
}程序输出：
path:(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,4) (2,4) (2,3) (3,3) (4,3) (4,4)
可见该条路径不是最短路径。因为程序中给定的迷宫还有一条更短路径为：
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
如果我们调整调用寻找下一个未访问的相邻结点的顺序，可换成先左右，后上下，可能会得到更短的路径，但无法确保在任何情况下都能得到最短路径。
3.2 求解最短路径
根据上面的方法我们可以在此基础之上进行改进，求出迷宫的最短路径。具体做法如下：
（1）让已经访问过的结点可以再次被访问，具体做法是将mark标记改为当前结点到起点的距离，作为当前结点的权值。即从起点开始出发，向四个方向查找，每走一步，把走过的点的值+1；
（2）寻找栈顶元素的下一个可访问的相邻结点，条件就是栈顶元素的权值加1必须小于下一个节点的权值(墙不能走，未被访问的结点权值为0)；
（3）如果访问到终点，记录当前最短的路径。如果不是，则继续寻找下一个结点；
（4）重复步骤（2）和（3）直到栈空（迷宫中所有符合条件的结点均被访问）。
实现示例：
#include <iostream>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;struct Point { //行与列int row; int col; Point(int x,int y){this->row=x;this->col=y;}bool operator!=(const Point& rhs) {if(this->row!=rhs.row||this->col!=rhs.col)return true;return false;}bool operator==(const Point& rhs) const {if(this->row==rhs.row&&this->col==rhs.col)return true;return false;}
}; //func:获取相邻未被访问的节点
//para:mark:结点标记；point：结点；m：行；n：列;endP:终点
//ret:邻接未被访问的结点
Point getAdjacentNotVisitedNode(int** mark, Point point, int m, int n, Point endP) {Point resP(-1,-1);if(point.row-1 >= 0) {//上结点满足条件if(mark[point.row-1][point.col] == 0 || mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row-1][point.col]) {resP.row=point.row-1;resP.col=point.col;return resP;}}if(point.col+1 < n) {//右结点满足条件if(mark[point.row][point.col+1] == 0 || mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row][point.col+1]){resP.row=point.row;resP.col=point.col+1;return resP;}}if(point.row+1 < m){//下结点满足条件if(mark[point.row+1][point.col] == 0 || mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row+1][point.col]){resP.row=point.row+1;resP.col=point.col;return resP;}}if(point.col-1 >= 0){//左结点满足条件if(mark[point.row][point.col-1] == 0 || mark[point.row][point.col]+1<mark[point.row][point.col-1]){resP.row=point.row;resP.col=point.col-1;return resP;}}return resP;
}//func：给定二维迷宫，求可行路径
//para:maze：迷宫；m：行；n：列；startP：开始结点 endP：结束结点； pointStack：栈，存放路径结点;vecPath:存放最短路径
//ret:无
void mazePath(void* maze,int m,int n, Point& startP, Point endP,stack<Point>& pointStack,vector<Point>& vecPath)
{//将给定的任意列数的二维数组还原为指针数组，以支持下标操作int** maze2d=new int*[m];for(int i=0;i<m;++i){maze2d[i]=(int*)maze+i*n;}//输入错误if(maze2d[startP.row][startP.col] == -1 || maze2d[endP.row][endP.col] == -1){return;}//建立各个节点访问标记，表示结点到到起点的权值，也记录了起点到当前结点路径的长度int** mark=new int*[m];for(int i=0;i<m;++i){mark[i]=new int[n];}for(int i=0;i<m;++i){for(int j=0;j<n;++j){mark[i][j] = *((int*)maze+i*n+j);}}//起点等于终点if(startP==endP){vecPath.push_back(startP);return;}//增加一个终点的已被访问的前驱结点集vector<Point> visitedEndPointPreNodeVec;//将起点入栈pointStack.push(startP);mark[startP.row][startP.col] = 1;//栈不空并且栈顶元素不为结束节点while(pointStack.empty() == false){Point adjacentNotVisitedNode=getAdjacentNotVisitedNode(mark,pointStack.top(),m,n,endP);//没有符合条件的相邻结点if(adjacentNotVisitedNode.row == -1){//回溯到上一个节点，继续深度搜索pointStack.pop();continue;}//以较短的路径，找到了终点if(adjacentNotVisitedNode == endP){mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col] = mark[pointStack.top().row][pointStack.top().col] + 1;pointStack.push(endP);stack<Point> pointStackTemp=pointStack;vecPath.clear();while (pointStackTemp.empty() == false){//vecPath 存放的是逆序路径vecPath.push_back(pointStackTemp.top());pointStackTemp.pop();}pointStack.pop(); //将终点出栈continue;}//入栈并设置结点权值mark[adjacentNotVisitedNode.row][adjacentNotVisitedNode.col]=mark[pointStack.top().row][pointStack.top().col]+1;pointStack.push(adjacentNotVisitedNode);}
}int maze[5][5]={{0, 0, 0, 0,0},{0,-1, 0,-1,0},{0,-1,-1, 0,0},{0,-1,-1, 0,-1},{0, 0, 0, 0, 0}
};int main(){Point startP(0,0);Point endP(4,4);stack<Point> pointStack;vector<Point> vecPath;mazePath(maze,5,5,startP,endP,pointStack,vecPath);if(vecPath.empty()==true){cout << "no right path" << endl;} else {cout<<"shortest path:";for(auto i=vecPath.rbegin();i!=vecPath.rend();++i){printf("(%d,%d) ",i->row,i->col);}}
}
程序输出最短路径如下：
如果将程序的迷宫改为如下:
int maze[5][3] = {
0, -1, 0,
0, -1 ,0,
1, -1, 0 ,
0, -1, 0,
0 ,0, 0};
输出：
根据改进的办法，可以看到上段代码修改的地方主要有三个地方：
（1）mark 标记改为结点权值，记录起点到结点的路径长度。特殊地，起点的权值记为 1。
（2）为适应 mark 标记，将迷宫的墙改为 -1，以免与结点权值混淆。
（3）求解下一个访问的结点，判断条件是结点的权值要小于其当前权值。
4.广度优先搜索
广度优先搜索的优点是找出的第一条路径就是最短路径，所以经常用来搜索最短路径，思路和图的广度优先遍历一样，需要借助队列。
实现步骤：
（1）从入口元素开始，判断它上下左右的邻边元素是否满足条件，如果满足条件就入队列；
（2）取队首元素并出队列。寻找其相邻未被访问的元素，将其如队列并标记元素的前驱节点为队首元素；
（3）重复步骤（2），直到队列为空（没有找到可行路径）或者找到了终点。最后从终点开始，根据节点的前驱节点找出一条最短的可行路径。
实现示例：
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;struct Point {//行与列int row; int col; //默认构造函数Point(){row=col=-1;}Point(int x,int y){this->row=x;this->col=y;}bool operator==(const Point& rhs) const{if(this->row==rhs.row&&this->col==rhs.col)return true;return false;}
};int maze[5][5] = {{0,0,0,0,0},{0,1,0,1,0},{0,1,1,1,0},{0,1,0,0,1},{0,0,0,0,0}
};void mazePath(void* maze,int m,int n, Point& startP, Point endP,vector<Point>& shortestPath){int** maze2d=new int*[m];for(int i=0;i<m;++i){maze2d[i]=(int*)maze+i*n;}if(maze2d[startP.row][startP.col]==1||maze2d[startP.row][startP.col]==1) return ; //输入错误if(startP==endP){ //起点即终点shortestPath.push_back(startP);return;}//mark标记每一个节点的前驱节点，如果没有则为（-1，-1），如果有，则表示已经被访问Point** mark=new Point*[m];for(int i=0;i<m;++i){mark[i]=new Point[n];}queue<Point> queuePoint;queuePoint.push(startP);//将起点的前驱节点设置为自己mark[startP.row][startP.col]=startP;while(queuePoint.empty()==false){Point pointFront=queuePoint.front();queuePoint.pop();if(pointFront.row-1>=0 && maze2d[pointFront.row-1][pointFront.col]==0){//上节点连通if(mark[pointFront.row-1][pointFront.col]==Point()){//上节点未被访问，满足条件，如队列mark[pointFront.row-1][pointFront.col]=pointFront;queuePoint.push(Point(pointFront.row-1,pointFront.col)); //入栈if(Point(pointFront.row-1,pointFront.col)==endP){ //找到终点break;}}}if(pointFront.col+1<n && maze2d[pointFront.row][pointFront.col+1]==0){//右节点连通if(mark[pointFront.row][pointFront.col+1]==Point()){//右节点未被访问，满足条件，如队列mark[pointFront.row][pointFront.col+1]=pointFront;queuePoint.push(Point(pointFront.row,pointFront.col+1)); //入栈if(Point(pointFront.row,pointFront.col+1)==endP){ //找到终点break;}}}if(pointFront.row+1<m && maze2d[pointFront.row+1][pointFront.col]==0){//下节点连通if(mark[pointFront.row+1][pointFront.col]==Point()){//下节点未被访问，满足条件，如队列mark[pointFront.row+1][pointFront.col]=pointFront;queuePoint.push(Point(pointFront.row+1,pointFront.col)); //入栈if(Point(pointFront.row+1,pointFront.col)==endP){ //找到终点break;}}}if(pointFront.col-1>=0 && maze2d[pointFront.row][pointFront.col-1]==0){//左节点连通if(mark[pointFront.row][pointFront.col-1]==Point()){//上节点未被访问，满足条件，如队列mark[pointFront.row][pointFront.col-1]=pointFront;queuePoint.push(Point(pointFront.row,pointFront.col-1)); //入栈if(Point(pointFront.row,pointFront.col-1)==endP){ //找到终点break;}}}}if(queuePoint.empty()==false){int row=endP.row;int col=endP.col;shortestPath.push_back(endP);while(!(mark[row][col]==startP)){shortestPath.push_back(mark[row][col]);row=mark[row][col].row;col=mark[row][col].col;}shortestPath.push_back(startP);}
}int main() {Point startP(0,0);Point endP(4,4);vector<Point> vecPath;mazePath(maze,5,5,startP,endP,vecPath);if(vecPath.empty()==true)cout<<"no right path"<<endl;else{cout<<"shortest path:";for(auto i=vecPath.rbegin();i!=vecPath.rend();++i)printf("(%d,%d) ",i->row,i->col);}getchar();
}
程序输出：
代码的几点说明：
（1）BFS 求迷宫最短路径，记录每个节点的前驱节点使用了mark标记。可见，三种方法中mark标记可以根据实际需求灵活为其赋予意义；
（2）特殊的，起始节点的前驱设置为其本身。
小结
告诫。看着别人的代码去理解问题是如何求解的，对于求解算法题来说，这种方法是错误的。正确的方法是看别人的求解思路，理解如何求解后，给出自己的实现，才能够真正深刻地掌握算法题的求解。经过自己思考的才能真正成为自己的东西。不然的话，看着别人的代码痛苦不说，而且每个人的实现在很多细节上不尽相同，即使花了很长时间，暂时弄明白了，我想过不了多久就会忘记。这样，得不偿失！
参考文献
[1] 迷宫最短路径问题解析
[2] 迷宫问题
