松弛（SOR）迭代法

article/2025/1/12 8:45:59

松弛迭代法是在雅可比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的基础上，以w>0为松弛因子，建立迭代格式如下：

$\widetilde{x_{i}}^{k+1}=\left ( b_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)} \right )/a_{ii}$

$x_{i}^{(k+1)}=\left ( 1-w \right )x_{i}^{(k)}+w\widetilde{x_{i}}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}+w\left ( \widetilde{x_{i}}^{(k+1)} -x_{i}^{(k)}\right )\left ( i=1,2, ...,n\right )$

即 $x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}+w\left ( b_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)} -\sum_{j=i}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right )/a_{ii}$

我们将线性方程组AX=b的系数矩阵A分解成一个对角矩阵D、一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵D，即A=D-L-U，则有：

$X^{(k+1)}=X^{(k)}+wD^{-1}\left [ b+LX^{(k+1)}+(-D+U)X^{(k)} \right ]$

$\rightarrow$ $(I-wD^{-1}L)X^{(k+1)}=[I+wD^{-1}(U-D)]X^{(k)}+wD^{-1}b$

$\rightarrow$ $D^{-1}(D-wL)X^{(k+1)}=D^{-1}[D+w(U-D)]X^{(k)}+wD^{-1}b$

$\rightarrow$ $(D-wL)X^{(k+1)}=[D+w(U-D)]X^{(k)}+wb$

$\rightarrow$ $X^{(k+1)}=(D-wL)^{-1}[(1-w)D+wU]X^{(k)}+(D-wL)^{-1}wb$

当w=1时，松弛迭代法即为高斯——赛德尔迭代法；当w>1时为超松弛迭代法，当w<1时为低松弛迭代法。

SOR方法收敛的必要条件是：0<w<2。

1. 松弛（SOR）迭代法的matlab代码

function [X0,err]=sor(A,b,X0,w,max1)
%输入  -A代表线性方程组AX=b的系数矩阵
%      -b代表线性方程组AX=b右侧的数值
%      -X0代表线性方程组AX=b进行松弛迭代法求解的迭代初值
%      -w代表松弛因子
%      -max1代表迭代的次数
%输出  -X0代表通过松弛迭代法求解线性方程组AX=b的解
[N,N]=size(A);
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
D=A+L+U;
B=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);
f=inv(D-w*L)*w*b;
for k=1:max1X0=B*X0+f;
end
err=abs(norm(A(:,:)*X0(:)-b(:),2))

在命令行窗口中输入：

>> A=[4 -1 1;4 -8 1;-2 1 5];

>> b=[7 -21 15]';

>> X0=[0 0 0]';

>> w=1.2;

>> max1=20;

>> sor(A,b,X0,w,max1)

最后得到的结果如下：

err =

2.3375e-09

ans =

2.0000
4.0000
3.0000

2. 松弛（SOR）迭代法的python代码

import numpy as npdef sor(A,b,X0,w,max1):'''A代表线性方程组AX=b的系数矩阵b代表线性方程组AX=b右边的部分X0代表高斯—赛德尔迭代的初始值w代表松弛因子max1代表迭代的次数'''n=np.shape(A)[0]L=-np.tril(A,-1)U=-np.triu(A,1)D=A+L+UB=np.dot(np.linalg.inv(D-w*L),((1-w)*D+w*U))f=np.dot(np.linalg.inv(D-w*L),w*b)for i in range(max1):X0=np.dot(B,X0)+ferr=np.linalg.norm(np.dot(A,X0)-b,ord=2)return X0,errn=3
#线性方程组AX=b右边的部分
b=np.array([[7],[-21],[15]])
#线性方程组的系数矩阵
A=np.array([[4,-1,1],[4,-8,1],[-2,1,5]])
#迭代的初值
X0=np.array([[0],[0],[0]])
#松弛因子
w=1.2
#迭代的次数
max1=20
#进行松弛迭代法求解线性方程组AX=b的解
X,err=sor(A,b,X0,w,max1)
#输出由松弛迭代法求得的线性方程组AX=b的解
print("X={}\nerr={}".format(X,err))

最后的输出结果如下：

X=[[2.]
[4.]
[3.]]
err=2.3374567113095046e-09