3D图形学中的矩阵变换

从这个月开始，我打算系统的去学习计算机图形学的知识了，一方面是因为兴趣，另一方面是之前自己也写过一些二维图形相关的程序，有一些数学的基础。图形学在软件开发中的地位很高，市面上所有的建模软件都与图形学相关，即使是photoshop这种设计软件也会涉及图形学的知识。而现在由于webgl的发展，未来图形软件在浏览器的比重也会越来越大。
废话不多说了，直接进入正题。本篇文章主要是为了证明图形学中的几种变换矩阵。首先要知道到学习图形学肯定要与向量、矩阵打交道。如果对线性代数不熟，可以先系统的学习下线性代数，要看懂本篇文章，至少你要有矩阵和向量的基础，会矩阵的数乘和乘法。

一. 点和向量

这部分我先简单的介绍下点和向量等基础概念。

平面中任意一个点可以用一个二元数列表示，在笛卡尔坐标系中(0, 0)点表示原点，(1, 1)表示原点往x轴方向移动1步，往y轴方向移动1步得到的点，而向量就形象的表示了这一过程，(0, 0)至(1, 1)点的向量就是(1 - 0, 1 - 0)，即(1, 1)。向量是一个表示方向和大小的概念，在物理中可以用来表示力和速度。在三维中，点和向量用三元数列表示(x, y, z)，任意一组xyz值可以唯一确定一个点和一个向量。

二. 变换矩阵

在图形学中，在做平移，旋转和缩放时，经常会用到矩阵，有缩放矩阵、平移矩阵和旋转矩阵。在三维空间中，变换矩阵都是一个四维矩阵，每一行分别表示x, y, z, w。为什么是四维的而不是三维的呢？请继续往下阅读。

1. 缩放矩阵（scale）

上面的公式，左边的第一个操作数（四维矩阵）就是一个缩放矩阵，s1表示x轴的缩放倍数，s2表示y轴的缩放倍数，s3表示z轴的缩放倍数。第二个操作数表示空间中(x, y, z)点， w分量在缩放矩阵中没有用到，我们将其设为1。由右边的结果，可以看出(x, y, z)点经过缩放矩阵变换后，x、y、z分量都各自缩放了s(s1、s2、s3)倍。需要注意的是矩阵的乘法不具有交换律，这里点是用一维列矩阵表示的，作为矩阵乘法的右操作数。如果将其转换到乘法的左边，那么点应该用一维行矩阵表示：

缩放矩阵比较简单，不需要证明，只需要会简单的乘法，就可以看出x,y,z经过缩放矩阵的变换确实被缩放了。

2.平移矩阵（translation）

平移矩阵也称位移矩阵，平移矩阵用到了第四列（w列），这也是为什么三维空间变换矩阵为什么是四维的。平移矩阵也比较容易理解，因为可以通过结果看出想x 、y、z确实各自平移了T步。

3. 旋转矩阵

旋转矩阵，相对难一些，也不是那么容易理解，我们先看最基础的绕x、y、z轴旋转的旋转矩阵。

沿x轴：

沿y轴：

沿z轴：

引入了三角函数，我们无法从结果看出旋转矩阵是否正确，所以我们需要证明。下面我给出沿z轴旋转的变换矩阵证明过程，其他轴同理可证。

假设有如图的点p1，因为绕z轴旋转，点的z值是不变的，我们将其设为0，这样可以将其模拟成二维平面xy中旋转。假设p1绕原点旋转b角度，初始角度为a。整个证明过程如下：

// 经过旋转后向量的长度不变为L(原点到p1和p2的距离相同)
// 由三角函数得到sin(a + b), cos(a + b)的值
cos(a + b) = x2 / L;
sin(a + b) = y2 / L;// 展开sin(a + b)和cos(a + b)
cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) = x2 / L;
sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) = y2 / L;// 用x和y表示cos(a)和sin(a)
x / L * cos(b) - y / L * sin(b) = x2 / L;
y / L * cos(b) + x / L * sin(b) = y2 / L;// 等式两边同时乘以L
x * cos(b) - y * sin(b) = x2;
y * cos(b) + x * sin(b) = y2;

将x2和y2的结果与上面z轴旋转矩阵结果比较，发现是完全一样的。

按照上面的方法同理可证绕x轴旋转和绕z轴旋转的矩阵。

那么绕任意轴旋转的矩阵呢？learnOpengl_cn官网直接给出了绕任意轴旋转的矩阵，(Rx, Ry, Rz)表示任意轴，θ表示旋转的矩阵。这个矩阵证明比较复杂。