在Cesium和其他三维开发中中经常用到矩阵变换。比如将一个物体移动、缩放、平移都可以用变换矩阵来计算。

再比如将三维场景中的物体转换为屏幕上显示的二维图形，需要用到透视投影（perspective projection）矩阵。

变换（tansformation）是一个函数，实现将一个空间坐标映射为另一个空间坐标，矩阵（matrix）是这种计算的一种方式，在三维开发中用途广泛。

一、向量

1.1、向量的基本概念

向量又称为矢量（vector），表示既有大小又有方向的量。在物理学中，力，速度，位移等都可以用向量来表示。 

向量通常用一个有向线段表示。

1.2、向量的加法

向量的加法运算符合平行四边形法则。

设向量a（x1，y1，z1）b（x2，y2，z2），则

a+b =（x1+x2，y1+y2，z1+z2）

1.3、向量的长度

向量的大小，也就是向量的长度（magnitude），也称为模，是一个标量。

设向量a（x，y），则向量a的长度记为|a|，公式如下，三维向量的公式同理。 

1.4、归一化向量

向量的归一化就是把向量的长度变为1，方向保持不变。公式为：

向量v称为u的归一化（normalization）向量。 

1.5、向量的点积和投影 

向量的点积（dot product）又称为数量积（scalar product）或内积（inner product）。

向量的点积是一个标量，也就是一个数值。

设向量a，b，向量a和向量b的夹角，0≤θ≤π，则向量的点积公式如下：

设向量a（x1，y1，z1）b（x2，y2，z2），则

a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2

如果a·b=0，则成a和b是正交的。

|OB1| =|b|cosθ ，|OB1| 称为b在向量a 方向上的投影。

投影向量如下，很容易推导。

 

1.6、向量叉积

向量的叉积（cross product），又称外积（outer product）

设向量a和b的叉积为n，则n与a和b都正交，向量a,b和n构成一个右手坐标系（right-handed coordinate system）

叉积n的长度为：

设向量a（xa，ya，za）b（xb，yb，zb），则 

  

二、矩阵

2.1、矩阵的基本概念

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵（引用百度百科）。记作：

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列。

（1）矩阵的加法

同型矩阵之间才可以进行相加。减法同理，就是对应元素相减。

（2）单位矩阵

一个矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0，称为单位矩阵，通常记为E。

任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身。

  

（3）矩阵的转置

把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵这一过程称为矩阵的转置。

（4）逆矩阵

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵，B=A-1 

（5）矩阵乘法

两个矩阵相乘在三维变换中极为重要。

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。

比如一个4×4矩阵和4×1矩阵相乘得到的是一个4×1矩阵。

 

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律：   (AB)C=A(BC) 

左分配律：(A+B)C=AC+BC

右分配律：C(A+B)=CA+CB

矩阵不满足交换律 ，也就是AB != BA，这个在后面介绍的矩阵变换后会有直观的感受。 

在三维开发中经常用到矩阵和矢量相乘，点和向量都可以用一个列矩阵来表示。

比如将一个空间中的点P(x,y,z)左乘一个3✖3的矩阵得到新的坐标P1(x',y',z')。

 

  

2.2、平移变换

平移（translation）变换是把空间中一个点沿着给定的方向移动固定的距离，设位移向量d，点P移动后P1，则 P1=P+d;

如果用齐次坐标（homogeneous coordinate）表示点和向量（齐次坐标的概念请自行查阅资料学习），

设点P(x,y,z,1)，点P1(x',y',z',1)，向量d=(tx,ty,tz,0)，则

x'=x+tx

y'=y+ty

z'=z+tz

表示成矩阵形式如下：

平移变换矩阵即为：

2.3、旋转

计算点p绕着z轴旋转θ角后的p‘的坐标，r为OP的长度。

x=rcosA

y=rsinA

x'=rcos(A+θ)

y'=rsin(A+θ)

利用两角和的三角函数公式可得到

x'=xcosθ - ysinθ

y'=xsinθ + ycosθ

z'=z

用矩阵表示，绕Z轴旋转的变换矩阵为：

 绕X轴旋转的变换矩阵为：

绕Y轴变换的矩阵 

2.4、缩放

假设在X轴，Y轴，Z轴上的缩放因子分别为Sx，Sy，S 

2.6、模型视图投影矩阵

这个以后再说

三、Cesium中的坐标系

Cesium中的地球默认采用的是WGS84坐标系。

四、Cesium中的矩阵变换

五、相关示例