决策树（decision tree）(二)——剪枝
**注：本博客为周志华《机器学习》读书笔记，虽然有一些自己的理解，但是其中仍然有大量文字摘自周老师的《机器学习》书。
决策树系列博客：
- 决策树（一）——构造决策树
- 决策树（二）——剪枝
- 决策树（decision tree）(三)——连续值处理
- 决策树（四）缺失值处理
前面在决策树（decision tree）（一）中介绍了几种对结点划分的方法（信息增益、信息增益率、基尼指数），在这篇博客里主要介绍剪枝，即;
- 预剪枝（pre-pruning）
- 后剪枝（post-pruning）
首先剪枝（pruning）的目的是为了避免决策树模型的过拟合。因为决策树算法在学习的过程中为了尽可能的正确的分类训练样本，不停地对结点进行划分，因此这会导致整棵树的分支过多，也就导致了过拟合。决策树的剪枝策略最基本的有两种：预剪枝（pre-pruning）和后剪枝（post-pruning）：
- 预剪枝（pre-pruning）：预剪枝就是在构造决策树的过程中，先对每个结点在划分前进行估计，若果当前结点的划分不能带来决策树模型泛华性能的提升，则不对当前结点进行划分并且将当前结点标记为叶结点。
- 后剪枝（post-pruning）：后剪枝就是先把整颗决策树构造完毕，然后自底向上的对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树换为叶结点能够带来泛华性能的提升，则把该子树替换为叶结点。
一、预剪枝（pre-pruning）
关于预剪枝（pre-pruning）的基本概念，在前面已经介绍过了，下面就直接举个例子来看看预剪枝（pre-pruning）是怎样操作的。数据集为（图片来自西瓜书）：
这个数据集根据信息增益可以构造出一颗未剪枝的决策树（图片来自西瓜书）：
下面来看下具体的构造过程：
前面博客（决策树（一））讲过用信息增益怎么构造决策树，这边还是用信息增益构造决策树，先来计算出所有特征的信息增益值：
因为色泽和脐部的信息增益值最大，所以从这两个中随机挑选一个，这里选择脐部来对数据集进行划分，这会产生三个分支，如下图所示：
但是因为是预剪枝，所以要判断是否应该进行这个划分，判断的标准就是看划分前后的泛华性能是否有提升，也就是如果划分后泛华性能有提升，则划分；否则，不划分。 下面来看看是否要用脐部进行划分，划分前：所有样本都在根节点，把该结点标记为叶结点，其类别标记为训练集中样本数量最多的类别，因此标记为好瓜，然后用验证集对其性能评估，可以看出样本{4，5，8}被正确分类，其他被错误分类，因此精度为43.9%。划分后： 划分后的的决策树为：
则验证集在这颗决策树上的精度为：5/7 = 71.4% > 42.9%。因此，用 脐部 进行划分。
接下来，决策树算法对结点 (2) 进行划分，再次使用信息增益挑选出值最大的那个特征，这里我就不算了，计算方法和上面类似，信息增益值最大的那个特征是“色泽”，则使用“色泽”划分后决策树为：
但到底该不该划分这个结点，还是要用验证集进行计算，可以看到划分后，精度为：4/7=0.571<0.714，因此，预剪枝策略将禁止划分结点 (2) 。对于结点 (3) 最优的属性为“根蒂”，划分后验证集精度仍为71.4%，因此这个划分不能提升验证集精度，所以预剪枝将禁止结点 (3) 划分。对于结点 (4) ，其所含训练样本已属于同一类，所以不再进行划分。
所以基于预剪枝策略生成的最终的决策树为：
总结： 对比未剪枝的决策树和经过预剪枝的决策树可以看出：预剪枝使得决策树的很多分支都没有“展开”，这不仅降低了过拟合的风险，还显著减少了决策树的训练时间开销和测试时间开销。但是，另一方面，因为预剪枝是基于“贪心”的，所以，虽然当前划分不能提升泛华性能，但是基于该划分的后续划分却有可能导致性能提升，因此预剪枝决策树有可能带来欠拟合的风险。
二、后剪枝（post-pruning）
后剪枝就是先构造一颗完整的决策树，然后自底向上的对非叶结点进行考察，若将该结点对应的子树换为叶结点能够带来泛华性能的提升，则把该子树替换为叶结点。前面已经说过了，使用前面给出的训练集会生成一颗（未剪枝）决策树：
后剪枝算法首先考察上图中的结点 (6)，若将以其为根节点的子树删除，即相当于把结点 (6) 替换为叶结点，替换后的叶结点包括编号为{7,15}的训练样本，因此把该叶结点标记为“好瓜”（因为这里正负样本数量相等，所以随便标记一个类别），因此此时的决策树在验证集上的精度为57.1%（为剪枝的决策树为42.9%），所以后剪枝策略决定剪枝，剪枝后的决策树如下图所示：
接着考察结点 5，同样的操作，把以其为根节点的子树替换为叶结点，替换后的叶结点包含编号为{6,7,15}的训练样本，根据“多数原则”把该叶结点标记为“好瓜”，测试的决策树精度认仍为57.1%，所以不进行剪枝。
考察结点 2 ，和上述操作一样，不多说了，叶结点包含编号为{1,2,3,14}的训练样本，标记为“好瓜”，此时决策树在验证集上的精度为71.4%，因此，后剪枝策略决定剪枝。剪枝后的决策树为：
接着考察结点 3 ，同样的操作，剪枝后的决策树在验证集上的精度为71.4%，没有提升，因此不剪枝；对于结点 1 ，剪枝后的决策树的精度为42.9%，精度下降，因此也不剪枝。
因此，基于后剪枝策略生成的最终的决策树如上图所示，其在验证集上的精度为71.4%。
总结：对比预剪枝和后剪枝，能够发现，后剪枝决策树通常比预剪枝决策树保留了更多的分支，一般情形下，后剪枝决策树的欠拟合风险小，泛华性能往往也要优于预剪枝决策树。但后剪枝过程是在构建完全决策树之后进行的，并且要自底向上的对树中的所有非叶结点进行逐一考察，因此其训练时间开销要比未剪枝决策树和预剪枝决策树都大得多。
参考文献
[1]: 周志华 《机器学习》
