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 ​​ ​决策树后剪枝算法（一）代价复杂度剪枝CPP
 ​​ ​决策树后剪枝算法（二）错误率降低剪枝REP
 ​​ ​决策树后剪枝算法（三）悲观错误剪枝PEP
 ​​ ​决策树后剪枝算法（四）最小错误剪枝MEP
 
  剪枝，是一个“用准确性换取简单性”的思想。它允许决策树对训练集过拟合，再通过删除对泛化精度无贡献的子分支，从而修剪出一颗较小的树。以下列出几种较常见的后剪枝算法，及其机制对比：

	CCP	REP	PEP	MEP
剪枝方式	自底向上	自底向上	自顶向下	自底向上
计算复杂度	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(n)$	$O(n)$
误差估计	标准误差	剪枝集上误差	连续性矫正	概率估计
是否需要额外剪枝集	否	是	否	否

（1）代价复杂度剪枝（CCP）

  CCP算法为子树$T_t$定义了代价和复杂度，以及一个衡量代价与复杂度之间关系的参数$\alpha$。大致流程为，从决策树$T_0$开始不断剪枝直到$T_0$的根节点，形成一个子树序列{$T_0,T_1,...,T_n$}; 然后经过交叉验证法在独立验证集上逐个测试评估, 从而选出最优子树。

 

（1.1）数学推导

 评价标准:
$$\begin{gathered} R_{\alpha }(T)=R(T)+\alpha |f(T)| \\ R(T)=\sum _{t\in f(T)}r(t).p(t)=\sum _{t\in f(T)}R(t) \end{gathered}$$
 解读：

• $R_{\alpha }(T)$即为一棵树好坏的评价标准。
• $R(T)$是决策树训练集误差(代价)，$|f(T)|$表示决策树的叶子节点数量(复杂度)。
• $\alpha$是正则化参数，用以权衡训练数据的拟合程度与模型复杂度。
• ${\sum }_{t\in f(T)}R(t)$表示每个叶子节点所产生的错误分类的误差和。
• $p(t)$为叶子节点权重（$=\frac{n(t)}{n}$），$r(t)$为叶子结点误分类率（$=\frac{error(t)}{n(t)}$）。

  进一步推导，对于一个固定的$\alpha$值, 一定存在一颗使得$C_{\alpha }(T)$最小的子树$T_{\alpha }$, 即在固定$\alpha$下的最优剪枝策略。现在考虑$\alpha$变化，考虑极端情况: 当$\alpha =0$时, 有$R_{\alpha }(T)=R(T)$, 即不考虑复杂度, 易知完整树即为最优；当$\alpha \to \infty$，复杂度权重无穷大，易知单节点树为最优。及$\alpha$从$0\to \infty$，$\alpha$对应的最优树$T_{\alpha }$从繁变简。

  再结合$Breiman$等人的证明: 将$\alpha$从小增大, $0={\alpha }_0<{\alpha }_1<...<{\alpha }_n<\infty$, 产生一系列的区间$[a_i,a_{i+1})$，$i=0,1,2,...,n$; 剪枝得到的子树序列对应着区间$\alpha \in [a_i,a_{i+1}),i=0,1,\mathrm{2...}n$的最优子树序列{$T_0,T_1,...,T_n$}，序列中的子树是嵌套的, 即$T_0$爷爷/$T_1$父亲/$T_2$儿子/$T_3$孙子…以此类推。

  那么如何选取每一阶段的$\alpha$, 这里引入剪枝整体损失函数减少程度指标 $g(t)=\frac{R(t)-R(T_t)}{|T_t|-1}$，其具体含义如下：
$$\begin{gathered} 当R_{\alpha }(T_t)=R_{\alpha }(t)时,即剪枝后误差增长率为0 \\ {R}_{\alpha }(T_t)=R_{\alpha }(T_t)+|f(T_t)| \\ {R}_{\alpha }(t)=R_{\alpha }(t)+1 \\ 解得\alpha ’=\frac{R(t)-R(T_t)}{|T_t|-1},即剪枝临界点(必定剪枝) \end{gathered}$$
  且可证得$g(t)$与误差增长率成正比:
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '&' at position 75: …T-T_t)|-|f(T)|)&̲\\ =[R(else)+R(…
  根据以上推导结论, 对于特定$\alpha$区间，要求最优$T_{\alpha }$需寻求误差增长率最小, 即$g(t)$最小。故我们所需要做的, 就是每轮迭代中遍历所有非叶子节点，$T_{i-1}$剪枝$g(t)$最小的节点生成下一颗最优子树$T_i$，从而生成子树序列。

  最后基于独立验证集, 对子树序列$T_0,T_1,...,T_n$中的平方误差或基尼系数逐个计算, 再作评估选择即可。

 

（1.2）算法流程

• 输入：CART算法生成的决策树$T_0$
• 输出：最优决策树$T_{\alpha }$
• （1）设$k=0,T=T_0$
• （2）设$\alpha =+\infty$
• （3）自下而上地对各内部结点$t$计算$R(T_t)$，$|f(T_t)|$以及:

$$\begin{gathered} g(t)=\frac{R(t)-R(T_t)}{|T_t|-1} \\ \alpha =min(\alpha ,g(t)) \end{gathered}$$

• （4）对$g(t)=\alpha$的内部结点$t$进行剪枝, 并对叶结点构成的树，回到步骤（2）；否则令$T_k=T_n$。
• （7）采用交叉验证法在子树序列$T_0,T_1,...,T_n$中选取最优子树$T_{\alpha }$（分类：基尼系数 \ 回归：平均误差）。

 

（1.3）例题计算

 #### (一)原始决策树

 #### (二)第一次迭代

 INPUT: $\alpha =0,T^1=t_1,t_2,t_3$

 OUTPUT: ${\alpha }^2=\min g_1(t)=\frac{1}{8},t=t_2或t_3$

 #### (三)第二次迭代

 INPUT：$alph{a}^2=\frac{1}{8},T^2=t_1,t_2$

 OUTPUT：${\alpha }^3=\min g_2(t)=\frac{1}{8},t=t_2$

 #### (四)第三次迭代
 INPUT: $T^3=t1$

 OUTPUT: ${\alpha }^4=g_3(t_1)=\frac{\frac{8}{16}-\frac{4}{16}}{2-1}=\frac{1}{4}$

 即子树序列$T_0,T_1,...,T_n$及其参数$\alpha$的计算, 接下来进行交叉验证即可选择最优子树即可。
 

（1.4）代码实现

 手写实现 + sklearn实现

链接：https://pan.baidu.com/s/1gskUIAHfv9lZ6Mtq7r7I1Q 
提取码：wo7m

 代码参考:http://www.hzcourse.com/web/refbook/detail/9970/226

 

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参考资料：

[1] 现代决策树模型及其编程实践 黄智濒 编著

[2] 统计学习方法(第二版) 李航 著

[3] https://blog.csdn.net/WANGWUSHAN/article/details/108556371