B树与R树
计算机磁盘的文件管理常使用B树和B+树。B树和B+树能良好地处理一维空间存储的问题。实际上，B树是一棵平衡树，它是把一维直线分为若干段线段，当我们查找满足某个要求的点的时候，只要去查找它所属的线段即可。这种思想其实是先找到一个大的空间，再逐步缩小所要查找的空间，最终在一个自己设定的最小不可分空间内找出满足要求的解。
R树恰恰也用到了这样的思想。R树是B树的扩展，它作为最流行的空间索引结构，广泛地应用于各种数据库系统。
R树很好地解决了这种高维空间搜索问题。它把B树的思想扩展到了多维空间，采用了B树分割空间的思想，并在添加、删除操作时采用合并、分解结点的方法，保证树的平衡性。因此，R树就是一棵用来存储高维数据的平衡树。
R树简介
1984年，加州大学伯克利分校的Guttman发表了一篇题为“R-trees: a dynamic index structure for spatial searching”的论文，向世人介绍了R树这种处理高维空间存储问题的数据结构。
R树在数据库等领域做出的功绩是非常显著的。举个简单的例子：
SELECT stu_id FROM TRAN
WHERE 80 <= maths and maths <= 90 80 <= chem and chem <= 90传统的方法需要先找出math成绩在[80,90]的学生，再从中找出chems成绩再[80,90]的学生。许多学生并不符合第二个条件，但却由于符合第一个条件二被选出，影响了查询效率。R树解决了这类高维搜索问题，大大提高了数据库查询效率。
R树的数据结构
如上所述，R树是B树在高维空间的扩展，是一棵平衡树。每个R树的叶子结点包含了多个指向不同数据的指针，这些数据可以是存放在硬盘中的，也可以是存在内存中。根据R树的这种数据结构，当我们需要进行一个高维空间查询时，我们只需要遍历少数几个叶子结点所包含的指针，查看这些指针指向的数据是否满足要求即可。
一棵R树满足如下的性质：
1. 除非它是根结点之外，所有叶子结点包含有m至M个记录索引（条目）。作为根结点的叶子结点所具有的记录个数可以少于m。通常，m=M/2。
2. 对于所有在叶子中存储的记录（条目），I是最小的可以在空间中完全覆盖这些记录所代表的点的矩形（注意：此处所说的“矩形”是可以扩展到高维空间的）。
3. 每一个非叶子结点拥有m至M个孩子结点，除非它是根结点。
4. 对于在非叶子结点上的每一个条目，i是最小的可以在空间上完全覆盖这些条目所代表的店的矩形（同性质2）。
5. 所有叶子结点都位于同一层，因此R树为平衡树。
其中每个非叶结点表示了一个最小矩形，它包含了所有子树中的点。每个叶子结点则表示一个点。
如上图，如果要查询 x属于[5,8.5] y属于[4,7.5]的点，可以在对应的坐标图上画出查询区域。只需根据R树中对应区块与查询区域重合部分即可逐层确认查询结果的点。
R树的操作
插入
R树的插入操作与树的插入操作类似。由根结点开始寻找使所有块边长和最小的块进行递归插入，直到叶结点。当新的数据记录需要被添加入叶结点时，若叶结点溢出，需要对叶结点进行分裂操作。
删除
R树的删除操作将被删除的结点直接抹去。如果剩余结点少于结点最大度的40%，则下溢，需要将剩余的结点放入重插列表。
上两图将点k删除，引起了E3的下溢，因此将s放入重插列表，将E3抹去。而这又递归地导致E9下溢，从而需要将E2放入重插列表，将E9抹去。
这样得到的R树再按顺序插入E2、s，才是完成了删除操作。
