一、目的

1.理解动态规划法的特征(多阶段决策\最优子结构\无后效性\子问题重复)
2.理解动态规划法的求解(划分过程\逆向推导\正向计算)
3.掌握动态规划法的简单实体(自顶向下递归备忘\自底向上迭代填表)和时间复杂度分析

二、内容

1.斐波那契数列

①自底向上

分析

斐波拉契数列的递推式为：
在这里插入图片描述
求第n个斐波拉契数时，需要知道F(n-1)和F(n-2)的值，可以设计一个表格填入n+1个F(n)的值，开始时，根据初始条件可以直接填入F(1)和F(2)，然后根据递推式计算出其他元素，表中最后一项就是F(n)的值。
按此想法，计算第n个斐波拉契数，共需循环n次，可能的时间复杂度为O(n)。

解决

算法描述：
输入：n（所求的项数）
输出：第n个斐波拉契数
int Fib(int n)
1.定义一个数组fib[]储存斐波拉契数列，数组长度为n+1，初始化为0
2.赋值fib[1] = 1，fib[2] = 1
3.定义变量i，循环变量i从3到n执行下列操作：
3.1 fib[i] = fib[i-1] +fib[i-2]
3.2 i++
4.返回fib[n]的值

int Fib(int n){ // 自底向上迭代填表int fib[n+1];fib[1] = 1;fib[2] = 1;for(int i=3; i<=n; i++){fib[i] = fib[i-1] +fib[i-2];}return fib[n];
}

基本语句为fib[i] = fib[i-1] +fib[i-2]，执行次数为
在这里插入图片描述

时间复杂度为：O(n)

②自顶向下

分析

在求解第n个斐波拉契数，需要知道F(n-1)和F(n-2)的值，若递归求解，存在子问题重复，降低了算法的效率，所以采用备忘录的方式。使用一个数组充当备忘录，算出某个子问题的解后储存在备忘录中，每次遇到一个子问题先去备忘录中查一查，如果发现已经解决过这个问题了，直接把答案拿出来用，不要再耗时去计算了。

解决

算法描述：
输入：n（所求的项数）
输出：第n个斐波拉契数
int Fib(int n,int fib[])

如果n=1，fib[1] = 1，返回fib[1]
如果n=2，fib[2] = 1，返回fib[2]
否则，执行下列操作
3.1 如果fib[n]不等于0，返回fib[n]
3.2 fib[n] = Fib(n-1,fib) + Fib(n-2,fib)
3.3 返回fib[n]

int Fib(int n,int fib[]){ //自顶向下递归备忘if(n==1){fib[1] = 1;return fib[1];}else if(n==2){fib[2] = 1;return fib[2];}else{if(fib[n]!=0){return fib[n];}}fib[n] = Fib(n-1,fib) + Fib(n-2,fib);return fib[n];
}

在这里插入图片描述
时间复杂度为:

2.走棋盘问题

分析

求解从棋盘的第一行第一列走到棋盘的第n行第m列的走法，每次只能向右或向下走
逆向推导：最后一步只能向下或向右走，那么走到棋盘的第n行第m列应该是走到棋盘第n行第m-1列的走法和第n-1行第m列走法的和，即f(n-1,m-1)=f(n-2)(m-1)+f(n-1)(m-2),继续向前推，考虑倒数第二步，若走到第一行或者第一列，只能向左或向上倒推，直到f(0,0)
正向求解f(0,0)=0,f(0,1)=1,f(1,0)=1,…,
f(n-1,m-1)=f(n-2)(m-1)+f(n-1)(m-2)得到原问题的解
按此想法，棋盘共有n行m列，可能的时间复杂度为O(mn)

解决

输入：棋盘有n行，m列
输出：每次只能往右走一步，或者往下走一步，从第1行第1列走到第n行m列不同的走法数
int Chess(int n, int m)

定义一个数组a[ n ][ m ]；
循环变量i从0~n-1时重复执行
2.1 a[ i ] [ 0 ]= 1;
2.2 i++；
循环变量j从0~m-1时重复执行
3.1 a[ 0 ] [ j ]= 1;
3.2 j++;
循环变量i从1~n-1时重复执行下列操作
4.1循环变量j从0~m-1时重复执行下列操作
4.1.1 a [ i ][ j ] = a [ i-1 ][ j ] + a [ i ][ j-1 ]
4.1.2 j++;
4.2 i++
返回a [ n-1 ][ m-1 ]的值

int Chess(int n, int m)
{int a[n][m];int i,j;for(int i=0; i<=n-1; i++){a[i][0] = 1;}for(int j=0; j<=m-1; j++){a[0][j] = 1;}for(i=1; i<=n-1; i++){for(j=1; j<=m-1; j++)a[i][j] = a[i-1][j] +a[i][j-1];}return a[n-1][m-1]; 
}

基本语句：a[i][j] = a[i-1][j] +a[i][j-1]
执行次数：
在这里插入图片描述

3.爬台阶问题

分析

要爬到第n级台阶，每次可以跨1级或2级，求解一共有多少种走法逆向推导：最后一步可以跨一级或者两级台阶，那么爬到n级台阶的走法应该是爬n-1级台阶的走法和n-2级台阶走法的和，f(n)=f(n-1)+f(n-2)，继续向前推，考虑倒数第二步，直到f(1)；
正向求解：f(1)=1，f(2)=2，f(3)=f(1)+f(2)=3，…，f(n)=f(n-1)+f(n-2)得到原问题的解。
按此想法，爬到第n级台阶，共需循环n次，可能的时间复杂度为O(n)

解决

输入：要爬的台阶数 int n
输出：爬完n级台阶的走法
int Chess(int n, int m)

定义一个数组a[ n ][ m ]
定义变量i，循环变量i从0到n-1执行下列循环：
2.1 a[ i ] [ 0 ]= 1
2.2 i++
定义变量j，循环变量i从0到m-1执行下列循环：
3.1 a[ 0 ] [ j ]= 1
3.2 j++
4.定义变量i，循环变量i从0到n-1执行下列循环
4.1循环变量j从0~m-1时重复执行下列操作
4.1.1 a [ i ][ j ] = a [ i-1 ][ j ] + a [ i ][ j-1 ]
4.1.2 j++
4.2 i++
5.返回a [ n-1 ][ m-1 ]的值

int ClimbStep(int n){int i;int a[n+1] = {0} ;for(i=1; i<=2; i++){a[i]=i;}for(i=3; i<=n; i++){a[i] = a[i-1] +a[i-2];}return a[n];
}

基本语句：a[i] = a[i-1] +a[i-2]
执行次数：
在这里插入图片描述
时间复杂度：O(n)

三、反思与总结

1.如果用分治函数实现斐波那契数列,该函数被调用几次? 而用自顶向下递归备忘实现时，该函数又被调用几次？自底向上迭代填表时，又被调用几次？请你给出 1 个 n 的具体值，画图回答以上问题。
答：
①分治法（调用 12 次）
在这里插入图片描述
②递归备忘（调用 1 次）

③迭代填表（调用 5 次）

2.请从你实现的级别中选择一题，说明动态规划法的解决过程（划分阶段、逆向推导、正向计算），再针对实现说明是自底向上或是自顶向下。
答：
爬台阶（自底向上）：
①划分阶段：从第一步依次走到最后一步；
②逆向推导：f（n）=f（n-1）+f（n-2）；
③正向计算：f（1）=1；f（2）=1；f（3）=f（1）+f（2）…f（n）=f（n-1）
+f（n-2）
3.你觉得动态规划法和分治法有区别吗？请举例说明。
答：有区别。后者是自顶向下，前者是自底向上解决问题。如实验中对斐波那契数列的两种求解方式。
4.动态规划法的两种实现有区别吗？你觉得动态规划法能解决所有问题吗？
答：有区别。如自底向上迭代法，直接利用递推式，调用一次函数即可求解；而自顶向下备忘法，需要利用递归调用的方式来求解。
动态规划法不能解决所有的问题。适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的，即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解。