最长递增子序列（LIS）

问题描述：

求一个序列的最长递增子序列，这样的子序列是允许中间越过一些字符的，即留“空”。

例如：4 2 3 1 5 的最长递增子序列为 2 3 5，长度为 3 。

解法：

这里给出两种动态规划的做法，第二种是比较优化的 dp 。

① dp：dp[i] 表示以 i 结尾的最长递增子序列长度。
在这里插入图片描述
第一个元素直接设置 LIS 长度为 1 即可。

处理第二个元素 2 的时候判断是否比前面的元素 4 大，没有的话那么以 2 为结尾的 LIS 就是 2，

即 LIS 长度为 1。
在这里插入图片描述
处理第三个元素 3 的时候需要跟前面的每个元素都进行比较，3 大于 2，则 LIS 的长度可能为 dp[1] + 1，

3 小于 4，则 LIS 的长度可能为 1，比较dp[1] + 1 和 1，取最大值，为 2 。
在这里插入图片描述
处理第四个元素 1，发现比前面的元素都小，那么以 1 为结尾的 LIS 只可能为 1，因此 LIS 的长度为 1。

处理最后一个元素 5，发现比前面的元素都大，那么以 5 结尾的 LIS 的长度可能为

dp[0] + 1，dp[1] + 1，dp[2] + 1，dp[3] + 1。

其中的最大值为 dp[2] + 1 = 3，因此 LIS 的长度为 3。

总结：

dp[i] 默认都为 1，因为以 i 结尾的 LIS 至少包含自己。

在 dp 表 0~i-1 中比对时，若 arr[i] > arr[j]，

那么 dp[j] + 1 可能为 dp[i] 的最终值。

需要在所有的可能值中取最大值。

时间复杂度为 O(n²)。

② dp：dp[i] 表示长度为 i 的最长递增子序列（LIS）末尾的数。
在这里插入图片描述
第一个元素直接加入 dp 表，dp[1] = 4，表示长度为 1 的 LIS 末尾的数当前为 4。

第二个元素为 2，因为 2 < 4，直接替换掉 4，dp[1] = 2 。

因为后面序列中的数字 > 2 的几率一定比 > 4 的几率高，有种贪心的感觉。
在这里插入图片描述
第三个元素为 3，由于 3 > dp[1] = 2，构成递增，dp[2] = 3，表示长度为 2 的 LIS 的末尾为 3 。

第四个元素为 1，由于 1 < dp[2] = 3，因此在前面一定有一个位置可以换成 1，

并且后面的递增性质不会被破坏。

第一个 > 1 的为 dp[1] = 2，因此将 dp[1] 置为 1。
在这里插入图片描述
最后一个元素为 5， 5 > dp[2] = 3，构成递归，故dp[3] = 5。

全部遍历完成，这个时候我们就可以发现 dp 数组的下标 3 就是我们要求的 LIS 长度。

参考代码：

// 这里的最长递增子序列是允许中间跨越其他子序列的 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;int *arr;
int *dp;// 经典问题 dp[i]的意思为以i为结尾的最长子序列为多少 
int getResult(int n)
{dp[0] = 1;for (int i = 1; i < n; i++){int cnt = 1;for (int j = i - 1; j >= 0; j--){if (arr[i] > arr[j]){  // 保证递增 cnt = max(cnt, dp[j] + 1);}}dp[i] = cnt;}int ans = 0;for (int i = 0; i < n; i++){ans = max(ans, dp[i]);}return ans;
}// 二分查找变体 找到第一个大于等于n的位置index 
int BinarySearch(int *dp, int len, int n)
{int left = 1;int right = len;while (left < right){int mid = (left + right) / 2;if (dp[mid] >= n){right = mid;}else{left = mid+1;}}return right;
}// 优化的dp dp数组的最终下标为答案 
int getResult1(int n)
{dp[1] = arr[0];int index = 1;for (int i = 1; i < n; i++){if (arr[i] > dp[index]){// 更新index dp[++index] = arr[i];}else{// 把dp数组中第一个大于等于n的数字替换为arr[i] int tempIndex = BinarySearch(dp, index, arr[i]);dp[tempIndex] = arr[i];}}return index;
} int main(){int n;while (cin >> n){arr = new int[n];dp = new int[n+1]; for (int i = 0; i < n; i++){cin >> arr[i];}int ans = getResult1(n);cout << ans << endl;delete[] arr;delete[] dp;}return 0;
}