定义

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS），在计算机科学上是指一个序列中最长的单调递增的子序列。

问题描述

给定一个长度为 N 的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。例如：给定一个长度为 5 的数组{5， 6， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为 {5，6，8}，长度为 3。

解法

动态规划

时间复杂度

该方法的时间复杂度为 $O(n^{2})$ 。

实现过程

下面我们用一个实例来分析一下动态规划求解 LIS 的整个过程。假设数组 A 的内容为 {5, 6, 1, 2, 8}。

1、第一个元素直接设置 LIS 长度为 1 即可。如下图所示。

2、第二个元素 6 大于前面所有元素进行比较。5<6，则 LIS[1] = LIS[0]+1 = 2。如下图所示。

3、第三个元素 1 和前面的所有元素进行比较。1<6，则 LIS 的长度可能为 1；1<5，则 LIS 的长度可能为 1；取最大值，LIS[2]=1 。如下图所示。

4、第四个元素 2 和前面的所有元素进行比较。1<2，则 LIS 的长度可能为 LIS[2]+1 = 2；6>2，则 LIS 的长度可能为 1；5>2，则 LIS 的长度可能为 1；取最大值，LIS[3]=2 。如下图所示。

5、第五个元素 8 和前面的所有元素进行比较。2<8，则 LIS 的长度可能为 LIS[3]+1 = 3；8>1，则 LIS 的长度可能为 LIS[2]+1 = 2；8>6，则 LIS 的长度可能为 LIS[1]+1 = 3；8>5，则 LIS 的长度可能为 LIS[0]+1 = 2；取最大值，LIS[4]=3 。如下图所示。

算法思路

设长度为 N 的数组为 {a0，a1, a2, ..., an-1)，则假定以 aj 结尾的数组序列的最长递增子序列长度为 LIS(j)，则 LIS(j) = {max(LIS(i))+1, i<j 且 a[i] < a[j] }。

二分查找

时间复杂度

该方法的时间复杂度为 $O(n*logn)$ 。

算法描述

我们可以引入一个新数组 maxV，该数组的特性为：

长度为 1 的递增子序列最大元素的最小值为 maxV[1]；

长度为 2 的递增子序列最大元素的最小值为 maxV[2]；

…

长度为 LIS[i] 的递增子序列最大元素的最小值为 maxV[LIS[i]]。

首先，证明 maxV[] 是递增的，因此可以使用二分搜索。我们可以用数学归纳法即可证明：若前 k 个元素是递增的，一定有 $maxV[k+1] \geq maxV[k]$ 。

证明：假设不成立，则 maxV[k+1] < maxV[k]。

根据 maxV[k+1] 的定义，存在一个长度是 k+1 的 LIS，并且以 maxV[k+1] 为最大元素。将上述子序列去掉最后一个元素maxV[k+1], 得到长度为 k，且最大元素 < maxV[k+1] < maxV[k]。

这显然与 maxV[k] 的定义矛盾。所以假设不成立。

实现过程

我们用一个实例来分析一下二分查找求解 LIS 的整个过程。假设数组 A 的内容为 {5, 6, 1, 2, 8}。

我们用 LIS[i-1] 表示长度为 i 的最长递增子序列末尾的数据。

1、第一个元素直接加入到 LIS 数组中。LIS[0]=5，表示长度为 1 的 LIS 数组最后一个元素是 5。如下图所示。

2、第二个元素为 6，因为 6>LIS[0]，构成递增，将数字 6 加入到 LIS 数组中，即 LIS[1]=6，表示长度为 2 的 LIS 数组的末尾是 6。如下图所示。

3、第三个元素为 1，1<LIS[2]，因此前面一定有一个位置的数据可以换成 1，并且后面的递增性质不会被破坏。因此我们使用二分查找在 LIS 数组中找到 1 的位置，我们知道 lower_bound 查找的位置为 0。也就是说 LIS[0] 可以被替换为 1。如下图所示。

4、第四个元素为 2，2<LIS[2]，因此前面一定有一个位置的数据可以换成 2，并且后面的递增性质不会被破坏。因此我们使用二分查找在 LIS 数组中找到 2 的位置，我们知道 lower_bound 查找的位置为 1。也就是说 LIS[1] 可以被替换为 2。如下图所示。

4、第五个元素为 8，8>LIS[2]，构成递增，将数字 8 加入到 LIS 数组中，即 LIS[2]=8，表示长度为 3 的 LIS 数组的末尾是 8。如下图所示。

这样，我们完成了遍历，这时候我们可以发现 LIS 数组的小标为 2，表示我们要求解的 LIS 长度为 3。

算法思路

将 array[i] 在当前的 maxV[] 数组中进行二分搜索，找到位置 k，maxV[k] < array[i] < maxV[k+1]。

将 array[i] 加入 maxV[] 数组。仅仅影响 maxV[k+1] (maxV[k+1] = array[i]），而对其他的元素不产生影响。

参考实现

int LIS(int *a, int n) {if (n<=0) {return 0;}vector<int> maxV;maxV.push_back(a[0]);for(int i=1; i<n; ++i) {if (a[i] > *maxV.rbegin()) {maxV.push_back(a[i]);} else {*lower_bound(maxV.begin(), maxV.end(), a[i]) = a[i];} }return maxV.size();
}